^^ gros travail sur les congruences ^^

[Dinozzo13]

Bonjour ! va lire le règlement du forum...

J'ai préparé une baterie d'exercices sur les congruences et j'aimerais connaître vos impression sur ce que j'ai trouvé, pour lever doutes et enfin éventuellemnt sur la méthode à utiliser concernant certains exercices, bonne lecture ^^ et merci d'avance.

Exercice I
Je dois résoudre dans l'équation suivante, .
* J'ai remarqué que 21=7x3, je me suis donc demandé si ?
* Après avoir résolu les deux équations, je trouve .

Exercice II
On définit .
1) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de par 12.
2) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de par 13.
* Pour la 1) je trouve et après en essayant n=1, n=2 et n=3 sur , on a d'où Le reste .
* Ici je trouve et , d'où , je rmarque que et que donc j'en conclus que :
- Si n est pair alors
- Si n est pair alors

Exercice III
Quel est le reste de la division par 17?
Après tout calculs fait, je trouve 4 comme reste.

Exercice IV
Quel est le reste de la division par 9?
je sais que 2009=1800+180+27+2 donc ensuite je fais:
-
-
-
-
-

- avec
-
-
-
Or 2009=4x502+1 donc donc le reste est 2.
Question: est-ce que ma methode pour cet exercice justifie ce qu'on me demande, j'ai un doute?

Exercice V
Quel est le dernier chiffres de ?
Cet exercice m'a donné beaucoup de fil à retorde, mais j'ai trouvé comme chiffre 6.

Exercice VI
Le seul que je ne comprend pas quelle méthode utiliser ni comment ^^, on me demande montrez que pour tout n entier que est divisible par 7, je sais que ça équivaut à ou encore

Pour finir, encore un grand remerciement pour votre aide et votre patience ^^.

[prody-G]

Salut,

En ce qui concerne l'exo 1, l'équivalence est vraie car 3 et 7 sont premiers entre eux.
Mais je pense qu'il y a des solutions non nulles, par exemple 21 est solution du systeme.

[Dinozzo13]

ok mais si les nombre n'étaient pas premiers ?

[ffpower]

pour montrer que n^7-n est divisible par 7,si tu connais pas le petit theo de fermat,tu peux tenter une reccurence sur n,ou alors verifier directement que c est vrai pour n=0,1,2,3,4,5,6,ou plus simple,le verifier pour n=-3,-2,-1,0,1,2,3..

[prody-G]

s'ils n'étaient pas premiers entre eux ce ne serait pas vrai.
6 est par exemple divisible par 2 et par 6 mais n'est pas divisible par 12.

[Zavonen]

EX VI: Dans K= Z/pZ si p premier x^p-1=1 pour x non nui.
Preuve K* est un groupe multiplicatif à p-1 éléments. Tout élément a pour ordre un diviseur de l'ordre du groupe.

[Zavonen]

EX V: dans Z/8Z la suite u_n+1=u_n^8 est stationnaire quand u_0=6.

[Zavonen]

EX IV : 2009 congru à 2 mod 9
Donc 2009^2009 congru à 2^2009
Or 2^6 congru à 1 mod 9
et 2009 congru à 5 mod 6
donc résultat 2^5=32 mod9 soit 5

[Dinozzo13]

EX IV : 2009 congru à 2 mod 9
Donc 2009^2009 congru à 2^2009
Or 2^6 congru à 1 mod 9
et 2009 congru à 5 mod 6
donc résultat 2^5=32 mod9 soit 5

donc selon vous, le reste de la division de 2009^2009 par 9 est 5?

[Zavonen]

Ben, comme on dit 'sauf erreur de ma part' oui.
Voici un script python qui le confirme:

def mod9(m,n):
result=1
for i in range(0,n):
result=(result*m%9)%9
return result

print mod9(2009,2009)

[Luc]

Bonjour à tous,

Bonjour ! va lire le règlement du forum...

Exercice I
Je dois résoudre dans l'équation suivante, .
* J'ai remarqué que 21=7x3, je me suis donc demandé si ?

Oui, c'est le théorème de Gauss : si n divise p*q, et que p et q sont premiers entre eux, alors n divise p ou n divise q.

* Après avoir résolu les deux équations, je trouve .

Je pense que tu t'es trompé (cf postde prody-G).
N'oublie pas que modulo 3, 3x^2=0 par exemple...

Une solution générale existe pour résoudre une équation du second degré dans Z/pZ, qui est un corps (ie un anneau ou tout élément non nul à un unique inverse pour la loi *). Il suffit de mettre l'équation sous forme canonique, et de calculer les quotients, c'est très rigolo, je te laisse chercher. Tu peux aussi calculer le discriminant, mais c'est plus compliqué.

Par exemple, saurais-tu calculer 3/4 dans Z/11Z ?
Indice : 1/4 est l'inverse de 4 dans Z/11Z.

Exercice II
On définit .
1) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de par 12.
2) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de par 13.
* Pour la 1) je trouve et après en essayant n=1, n=2 et n=3 sur , on a d'où Le reste .
* Ici je trouve et , d'où , je rmarque que et que donc j'en conclus que :
- Si n est pair alors
- Si n est pair alors

Je pense que c'est juste, tu peux aller un peu plus vite en remarquant que

Exercice III
Quel est le reste de la division par 17?
Après tout calculs fait, je trouve 4 comme reste.

Moi je trouve 16 :zen:
Comment as-tu procédé?
Moi j'ai utilisé et

Exercice IV
Quel est le reste de la division par 9?
je sais que 2009=1800+180+27+2 donc ensuite je fais:
-
-
-
-
-

- avec
-
-
-
Or 2009=4x502+1 donc donc le reste est 2.
Question: est-ce que ma methode pour cet exercice justifie ce qu'on me demande, j'ai un doute?

Je te renvoie à la réponse de Zavonen.

Exercice V
Quel est le dernier chiffres de ?
Cet exercice m'a donné beaucoup de fil à retorde, mais j'ai trouvé comme chiffre 6.

Il faut raisonner modulo 10, ie dans Z/10Z (et pas Z/8Z, petite coquille).
Je complète donc la réponse de Zavonen : il suffit de montrer d'abord que , après son raisonnement permet de conclure.

Exercice VI
Le seul que je ne comprend pas quelle méthode utiliser ni comment ^^, on me demande montrez que pour tout n entier que est divisible par 7, je sais que ça équivaut à ou encore

Pour finir, encore un grand remerciement pour votre aide et votre patience ^^.

Les réponses de ffpower et Zavonen sont très satisfaisantes (le théorème que Zavonen cite est justement le petit théorème de Fermat). Si tu comprends sa preuve, ça signifie que tu as bien compris les groupes, bravo :p
Sinon il y a d'autres démonstrations "directes", que l'on fait en terminale spé maths.

Voilà, n'hésite pas à reposer des questions si tu n'as pas compris quelque chose ou si tu n'es pas d'accord avec les réponses :zen:

[Dinozzo13]

Ok d'accord, :ptdr: , je vais regerder tout ça plus an détail. J'ai quelque questions, je ne comprends pas comment prouver par exemple qu'un nombre avec des puissances est divisible par un nombre : exemple, est divisible par 11, x ou encore 3x est divisible par 17, des choses comme ça et enfin je n'arrive pas à résoudre des équations avec des congruences : exemple, , Pourriez-vous m'aider. J'aimerais également savoir quels sont les pièges à éviter sur la congruence et la divisibilité niveau term S, pour que je ne tombe pas dans des pièges, ainsi que peut-être des réflexes à avoir, voilà merci encore ^^.

[Zavonen]

exemple, est divisible par 11,

Ton nombre s'écrit
soit modulo 11

ou encore

A toi de terminer.

[Zavonen]

Cela peut s'écrire
n(n+6)=k8 k entier

[Dinozzo13]

:doh: , alors là, je ne vois pas comment ?

[Zavonen]

Cela peut s'écrire n(n+6)=k8 k entier

Examine la puissance de 2 dans la décomposition de n en facteurs premiers.

[Dinozzo13]

oui, en effet, c'est très simple ^^, j'ai juste développé :


tel que , mais après quoi faire :doh: ?

[Zavonen]

C'est dit juste au dessus.
n peut-il être impair ?
Que se passe-t-il si n est multiple de 4 ?
n peut-il être multiple de 2 sans être multiple de 4 ?

[Dinozzo13]

ah ! je crois avoir trouvé un moyen, j'ai trouvé les solutions suivantes,

{}

[Zavonen]

ou encore est divisible par 17,

multiplie par 20.