Question sur un exercice de DM

[lasute]

Bonjour, j'ai un exercice à faire dans mon devoir maison et j'aurais souhaité si ce que je compte mettre est bon ou pas?

Données globales de l'exercice:

On appelle distance du point M à la droite D, la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
D est la droite passant par A de vecteur normal v(=vecteur)n.
M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal sur D.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j), on suppose que D : ax+by+c=0, A(xa ;ya) et M(x ;y).
a. Démontrer que vAM.vn=ax+by+c
Indication : les coordonnées de A vérifient l’équation de D.

[lasute]

J'avais pensé mettre pour la question:

On sait que D est la droite passant par A de vecteur normal vn.
De plus, D: ax+by+c=0, A(xa;ya) et M(x;y).
D'où vn(a;b) et vAM(x-xa;y-ya).
Les coordonnées de A vérifient l'équation de D.
D'où vAM.vn=a(x-xa)+b(y-ya)
vAM.vn=a*x-a*xa+b*y-b*ya
Or D:ax+by+c=0
Donc c=-ax-by
vAM.vn=ax+by+c si et seulement si vAM.vn=0
D'où a*x-a*xa+b*y-b*ya=0
a*xa+b*ya=a*x+b*y
-a*xa-b*ya=-a*x-b*y
Or c=-ax-by
D'où vAM.vn=ax+by+c

[lasute]

Est ce que ce que j'ai marqué est bon??

[Cheche]

Erreur !!!

M(x;y) est un point quelconque du plan, et tu écris ax+by+c = 0

P.S. : Petit conseil (toujours le même), commence par faire un petit schéma, places y les points A,M,H, la droite D et le vecteur n.

[Huppasacee]

Salut

La rédaction est un peu confuse .

Exemple de rédaction :

Etablissons l'équation cartésienne de la droite D , perpendiculaire à de coordonnées (a;b) et passant par A
Si la droite est perpendiculaire à , alors , pour tout point P de coordonnées (x;y ) , de la droite D , est orthogonal à

donc leur produit scalaire est nul

après avoir calculé le produit scalaire , tu dis :

donc l'équation cartésienne de la droite D est



donc si l'équation de la droite est

ax + by + c =0, alors

[lasute]

Le schéma est déjà fait avec l'exercice, en fait l'exercice est divisé en 2 partie.
Voilà le plan de l'exercice:
Tout d'abord avant la partie A il y a comme donnée :
On appelle distance du point M à la droite D, la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.
Ensuite il y a les questions de la partie A
Puis la partie B:
Les données sont alors:
D est la droite passant par A de vecteur normal v(=vecteur)n.
M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal sur D.
Puis il y a le schéma, le "1.Point de vue géométrique" avec deux question et le "2.Point de vue analytique" avec comme données:
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j), on suppose que D : ax+by+c=0, A(xa ;ya) et M(x ;y).
Enfin il y a les questions de la partie 2 avec comme première question:
a. Démontrer que vAM.vn=ax+by+c
Indication : les coordonnées de A vérifient l’équation de D.

J'ai juste marqué les données qui me sont données.

[lasute]

Je ne comprend pas trop parce que là on n'utilise pas M mais P alors qu'il faut prouver AM.v=ax+by+c
??

[lasute]

Ou alors au lieu d'utiliser P je peut dire que c'est H car j'ai déjà prouver dans une question précédente que AM.n=HM.n

[lasute]

Salut

La rédaction est un peu confuse .

Exemple de rédaction :

Etablissons l'équation cartésienne de la droite D , perpendiculaire à de coordonnées (a;b) et passant par A
Si la droite est perpendiculaire à , alors , pour tout point P de coordonnées (x;y ) , de la droite D , est orthogonal à

donc leur produit scalaire est nul

après avoir calculé le produit scalaire , tu dis :

donc l'équation cartésienne de la droite D est



donc si l'équation de la droite est

ax + by + c =0, alors

L'équation cartésienne est trouvé par la relation AM.n=x_AM*x_n+y_AM*y_n ???

[Huppasacee]

Lorsque tu cherches à déterminer l'équation d'une droite , peu importe le nom que tu donnes au "point courant " de la droite

Ici, j'ai utilisé P pour ne pas avoir de confusion avec le point M de l'énoncé , qui lui,est en dehors de la droite D

[lasute]

a d'accord merci

[lasute]

Par contre je voulais savoir si ce que j'ai mis pour les 2 premières questions (a et b) de la partie 2 est bon ou pas ?
http://maths-forum.com/showthread.php?t=85512&page=2

[Huppasacee]

si tu pouvais remettre tes réponses dans ce post , ce serait préférable .

Le multipost est peu pratique et pas très agréable pour ceux ou celles qui te répondent!!

[lasute]

d'accord, c'est juste que j'ai fait ça parce que l'on ne me répondait pas dans l'autre.

[Huppasacee]

alors , tu fais un copier coller si tu veux , pour rester sur ce post

[lasute]

donc voilà la consigne:

Distance d’un point à une droite
On appelle distance du point M à la droite D, la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur D.

Partie A. Un premier exemple
(O,i,j) est un repère orthonormé du plan.
1. Tracer D : 2x-y+1=0 et placer M(1 ;2).
2. Déterminer une équation cartésienne de la droite d’équation D1 perpendiculaire à D et passant par M et la tracer.
3. En déduire les coordonnées de H projeté orthogonal de M sur D puis calculer MH.

Partie B. Cas général
D est la droite passant par A de vecteur normal v(=vecteur)n.
M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal sur D.

1. Point de vue géométrique
a. Démontrer que vAM.vn=vHM.vn.
b. En déduire que d=|vAM.vn|/norme de vn.

2. Point de vue analytique
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j), on suppose que D : ax+by+c=0, A(xa ;ya) et M(x ;y).
a. Démontrer que vAM.vn=ax+by+c
Indication : les coordonnées de A vérifient l’équation de D.
b. En déduire que d=|ax+by+c|/racine de a²+b².
c. Retrouver le résultat de la partie A en utilisant cette formule.

[lasute]

Et pour la question 1.a:
On sait que D est la droite passant par A de vecteur normal n, M est un point quelconque du plan et H est son projeté orthogonal sur D.
D'où [AH] est perpendiculaire à [HM].
Donc H est le projeté orthogonal de A sur [HM].
On sait que H est le projeté orthogonal de A sur [HM].
D'où vAM.n=vHM.n

[lasute]

et pour la question 1.b de la partie 2 si je met :

Soit d la longueur HM
On sait que vAM.vn=vHM.vn
(Quand je met |HM| c'est norme de HM)
D'où |HM|=|vAM.vn|/|vn|
et donc d=|vAM.vn|/|vn|

[Huppasacee]

Il faut d'abord déterminer l'équation de la droite D1

Maintenant , prenons un point Q de D1 , de coordonnées ( x ; y )

si la droite D1 est perpendiculaire à D , comme D est perpendiculaire à , alors D1 est parallèle à

ce qui fait que est colinéaire à

Il faut donc écrire la condition de colinéarité , faire le produit en croix , et trouver l'équation cartésienne de D1


Ensuite , tu écris l'équation de D sous la forme

y = mx + p ( équation réduite )

pareil pour D1

et comme H est le projeté orthogonal de M sur D , il est sur D et sur D1 , donc il faut calculer l'intersection de D et D1 pour trouver et

[lasute]

Il faut d'abord déterminer l'équation de la droite D1

Maintenant , prenons un point Q de D1 , de coordonnées ( x ; y )

si la droite D1 est perpendiculaire à D , comme D est perpendiculaire à , alors D1 est parallèle à

ce qui fait que est colinéaire à

Il faut donc écrire la condition de colinéarité , faire le produit en croix , et trouver l'équation cartésienne de D1


Ensuite , tu écris l'équation de D sous la forme

y = mx + p ( équation réduite )

pareil pour D1

et comme H est le projeté orthogonal de M sur D , il est sur D et sur D1 , donc il faut calculer l'intersection de D et D1 pour trouver et

Ta réponse, c'est pour quelle question??