D'un verre à l'autre problème suites 1ère

[parisien99]

Bonjour,
J'ai un sacré DM a faire: j'ai réussi les premières questions mais a partir de la 2 je bloque merci de m'aider.
le voila:
On dispose de deux verres de même contenance 20 cl.
Le verre 1 est plein d'eau et le verre 2 contient 10 cl de vin.
A l'aide du verre 1, on remplit le verre 2, puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre2, on remplit le verre1 en utilisant le verre 2. On répète plusieurs fois cette opération.

On se pose les questions suivantes :
la proportion de vin dans le verre 1 peut-il être :
A supérieur à celle du verre 2 ?
B supérieur à 99.99% de celle du verre 2?

Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, U et Vn les proportions de vin dans les verres 1 et 2, au bout de n étapes. On a donc U0=0 et V0=1

1°) a) Justifier que V1=1/2 et U1=1/4, puis calculer U2 et V2
b) expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :
Vn+1=0.5(Un+Vn).
c) en remarquant que la quantité de vin contenue dans l'ensemble des deux verre n'est pas modifiée à chaque étape, démontrer que, pour tout entier naturel n : Vn=1-2Un
d) En déduire les dix premiers termes de chacune des suites u et v.

c'est la que je bloque...
2°)a) démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme Un+1=f(Un), où f est une fonction affine que l'on précisera.
b) Représenter graphiquement les premiers termes de la suite u en utilisant la droite représentant la fonction affine f.
c) Quelle propriété de la fonction f permet de justifier que, pour tout entier naturel n, un < Vn et répondre à la question a.
3°) Soit W la suite définie sur N par Wn=Un+1-Un
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Wn+1=(1/4)Wn. En déduire, pour tout entier naturel n, l'expression de Wn en fonction de n.
b) Déterminer le sens de variation des suites u et v?
4°) Soit p la suite définie sur N par pn=Un/Vn.
a) Calculer les dix premiers termes de la suite p.
b) Quel est le sens de variation de la suite p?
c) Répondre à la question B.

[parisien99]

personne pour m'aider??? c'est assez pressant AIDEZ MOI SVP!!!!
Si cela peut donner une idée je sais que Un+1=3/4Un+Vn/4
donc je ne sais pas comment le démontrer mais f(Un)=3/4Un+Vn/4 ?

[phryte]

Bonjour.

Un+1=f(Un)

Tu exploites : Vn+1=0.5(Un+Vn) et Vn=1-2Un en éliminant V
et tu trouves Un+1 = ...

[parisien99]

Ok
cela fait 1-2Un+1=-0,5Un+0,5

le pb est que je tombe sur du 5/2Un=1/2
Mais Un+1 je l'ai déja calculé auparavant et je trouvais ...=3/4Un+Vn/4

[parisien99]

qui peut me dire quelle est la fonction affine f SVP? je ne trouve pas la solution. comme phryate me dit je trouve du Un=1/5 ? je me trompe?

[phryte]

Je trouve = Un+1 = 1/4(1+Un)

[parisien99]

merci je m'étais bien trompé désolé.je vais essayer de continuer avec cela.
donc f(un)=1/4Un+1/4 ?

[phryte]

donc f(un)=1/4Un+1/4 ?

C'est bon, tu peux le vérifier avec U1 et U2

[parisien99]

donc f(x)=ax+b
=1/4x+1/4

[phryte]

donc f(x)=ax+b =1/4x+1/4

Il s'agit bien d'une fonction affine.

[parisien99]

:hein: merci j'ai fini toute la question 2 mais je n'arrive pas a commencer la 3 ne me dites pas ce qu'il faut faire mais donner moi une piste SVp?
la réponse à la 2 est non car Vn supérieure à 1/3. merci de m'aider

[phryte]

Bonjour.

a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, Wn+1=(1/4)Wn.

Wn+1 = Un+2 - Un+1 = ....

[parisien99]

d'accord mais d'ou sort lle un+2 ?

[phryte]

Bonjour.

d'accord mais d'ou sort lle un+2 ?

Tu le calcules à partir de Un+1

[parisien99]

Un+2=1/4(Un+1)+1/4 ?

=1/4Un + 1/2 ?

[phryte]

Un+2=1/4(Un+1)+1/4
C'est bon
Wn+1 = Un+2 - Un+1 = ....

[parisien99]

Wn+1= 1/4 mais que faut il faire ensuite?
Il faut comparer Wn et Wn+1 mais que vaut Un tout seul?

[phryte]

Wn+1 = Un+2 - Un+1 = 1/4(Un+1)+1/4-Un/4-1/4 = 1/4Un+1 - 1/4Un = 1/4Wn

[parisien99]

quelle est l'zxpression Wn en fonction de n?
Wn=1/4n ?

[parisien99]

:briques: la suite U est strictement positive mais quelle est le sens de variation de la suite V ? Que vaut Vn+1-Vn ?