Fonction régulière

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je voudrais montrer que la fonction définie sur est dérivable à droite de 1, ainsi que toutes ses dérivées.

Pour et suffisamment petit je trouve

,

et lorsque je fais tendre vers 0, je tombe sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.

Merci pour votre aide.

[Nightmare]

Salut :happy3:

As-tu fait une DES de ton exposant?



Ton taux de variation vaut donc :

La première tend vers 1/2 et la deuxième tend vers l'infini... problème !

[Nightmare]

Aïe, la première ne tend pas vers 1/2, le h est au dénominateur, ça tend vers l'infini, forme indeterminée donc.

[legeniedesalpages]

Bonjour Jord,

en y réfléchissant je pensais plutôt utiliser les croissances comparées, j'essaie de développer mon raisonnement c'est pas clair du tout :hein:
Mais je n'avais pas du tout pensé à une DES.

[Nightmare]

Autre méthode donc, mise sous forme canonique :

On pose




On multiplie par la quantité conjuguée :


Or :


Finalement

:happy3:

[legeniedesalpages]

ah oui bien vu Jord. Merci. :++:

[ThSQ]

Tiens le retour de la fonction infiniment plate (aka la super-glu C°° ) !

Pour simplifier on ramène le pb en 0 : il suffit de montrer que est C°° (et à toutes ses dérivées nulles en zéro).

Lemme : f : [a, b] -> R C°, dérivable sur [a, b] sauf en c avec a c. Alors f est dérivable en c et on a f'(c) = l.

Un coup de TAF. + généralisation à

Maintenant : par réc avec une fraction rationnelle. + lemme

[Black Jack]

Question à 100 sous :

Est-il normal d'essayer de montrer qu'une fonction définie par hypothèse sur ]-1 ; 1[ est dérivable à DROITE de 1 ?

:zen:

[Doraki]

Moi aussi ça me perturbe ! Elle l'est trivialement parcequ'il n'y a rien à vérifier !

[ThSQ]

Elle serait pas vaguement prolongeable en +-1 des fois ....

[xyz1975]

Bonjour,

je voudrais montrer que la fonction définie sur est dérivable à droite de 1, ainsi que toutes ses dérivées.

Pour et suffisamment petit je trouve

,

et lorsque je fais tendre vers 0, je tombe sur une forme indéterminée que je n'arrive pas à lever.

Merci pour votre aide.

Une façon équivalente à celle donnée par Nightmare :
On multiplie et on divise par h-2 :



La quantité entre crochets se rapproche de 0, pour le voir il suffit de poser


On peux aussi utiliser les équivalences mais c'est long.

[Black Jack]

Il me semble bizarre de chercher si une fonction définie sur ]-1 ; 1[ est dérivable à droite de 1... Donc là où elle n'est pas définie.

Si on veut essayer de prolonger la fonction en +1, on peut mais il s'agit alors d'une autre fonction...

Et de toute manière : lim(x -> +1-) [e^(1/(x²-1))] = 0 et lim(x -> +1+) [e^(1/(x²-1))] = +oo et donc ...

Mais je ne suis pas mathématicien.

:zen:

[kazeriahm]

en fait c'est un exemple de fonction assez connu et utile en théorie des distributions.

on montre que la fonction f définie par x->e^(1/x^2-1) sur ]-1,1[ et 0 partout ailleurs est C infini (et bien sur à support compact), ce qui constitue une bonne base pour étudier les distributions, qui sont les formes linéaires continues sur l'ev des fonctions c infini à support compact.

[legeniedesalpages]

oui je voulais bien entendu dire à gauche de 1 :briques:

J'avais pensé au lemme, mais pas au TAF.
Merci à vous.

[legeniedesalpages]

en fait c'est un exemple de fonction assez connu et utile en théorie des distributions.

on montre que la fonction f définie par x->e^(1/x^2-1) sur ]-1,1[ et 0 partout ailleurs est C infini (et bien sur à support compact), ce qui constitue une bonne base pour étudier les distributions, qui sont les formes linéaires continues sur l'ev des fonctions c infini à support compact.

Effectivement, c'est dans ce contexte que je suis tombé sur cette fonction.