Déterminer la réciproque d'une fonction

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 12:22

Bonjour ! Pourriez vous m'aider ?

Voilà l'énoncé de mon exercice :

Considérons la fonction f définie sur ]-1;+oo[ par

1 ) Montrer que f admet une réciproque

2 ) quelle est l'équation de la tangente à

associée à

au point d'abscisse 2 ?
3 ) Quelle est l'équation de la tangente à

associée à

au point d'abscisse

?
4 ) Quel est l'ensemble de dérivabilité de

? La courbe admet elle une tangente au point d'abscisse 1 ?
5 ) Tracer

et

dans un repère orthonormé.

Alors pour les questions 1) 2) je pense avoir trouvé :

Rapidement je vous donne le fil de mon raisonnement :

1) f'(x) > 0 sur ]-1;+oo[ ==> f est strictement décroissante sur ]-1;+oo[
f est continue sur ]-1;+oo[ car composée et quotient de fonctions continues

Ainsi, f réalise une bijection de ]-1;+oo[ sur
]lim f(x) ; lim f(x)[
x->+oo x->-1
f réalise donc une bijetion de ]-1;+oo[ sur ]0;+oo[

Conclusion : f admet donc une réciproque continue

2)

3 ) Alors là j'accroche. En effet, avant de trouver la tangente, il faut trouver l'équation de

non ?

Or je n'y arrive pas ! :-(

j'ai fait :

x

y

y = f(x)
y =

et là après ... tout mes calculs tournent en rond !

Voilà ! Merci pour votre aide !

par **franky4doigts** » 18 Jan 2009, 12:27

Bonjour. Pour la 3 tu sais que f-1 est bijective donc il suffit que tu trouve un point x tel que f(x)=1/3 puis tu te sers de la formule qui donne la dérivée de l'inverse
Pour la 4 f-1 est dérivable si f' diff de 0

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 17:41

franky4doigts a écrit:Bonjour. Pour la 3 tu sais que f-1 est bijective donc il suffit que tu trouve un point x tel que f(x)=1/3 puis tu te sers de la formule qui donne la dérivée de l'inverse

Excusez moi, je n'ai pas très bien compris ce que vous entendez par là ...

par **Clembou** » 18 Jan 2009, 17:52

Si tu veux trouver la fonction réciproque, il faut résoudre :

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 17:55

oui je sais bien mais je n'y parviens pas car je tourne en rond indéfiniment ! :-(

j'ai fait :

etc ... mais sans jamais parvenir à quelquechose ...

par **leon1789** » 18 Jan 2009, 18:08

Ptiboudelard a écrit:oui je sais bien mais je n'y parviens pas car je tourne en rond indéfiniment !

etc ... mais sans jamais parvenir à quelquechose ...

Rooo, de cette dernière ligne, tu ne peux pas exprimer x en fonction de y ??

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:14

lol ... euh c'est si facile que ça ?

Alors ben je fais :

.... mais voilà, après je vous dis, je tourne en rond dans toutes les lignes qui suivent ...

par **leon1789** » 18 Jan 2009, 18:22

Ptiboudelard a écrit:lol ... euh c'est si facile que ça ?

oui, c'est pas difficile !

Ptiboudelard a écrit:Alors ben je fais :

evidemment, en compliquant tout, c'est plus dur effectivement.

donc

!
a toi de continuer : enlève la racine carrée, le +1 et le cube .

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:28

lol, je crois que c'est une habitude chez moi de tout compliquer... j'ai testé cette méthode aussi mais je viens de m'apercevoir de ma betise :-) en enlevant la racine on élève le 1/y au carré, et ca je ne l'avais pas fait

je vous tiens au courant !

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:34

je trouve :

le problème c'est que je ne vois pas comment faire sauter le

par **leon1789** » 18 Jan 2009, 18:37

Ptiboudelard a écrit:le problème c'est que je ne vois pas comment faire sauter le

ok, tu vas y arriver :id:
quelle est la fonction réciproque de x -> x^2 ?
pour x -> x^3 c'est du même genre

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:40

la racine cubique ?

par **Clembou** » 18 Jan 2009, 18:41

Exactement ! :++:

La fonction réciproque (sur leur intervalle de bijection) de

c'est

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:45

d'accord ! Le truc qui me chiffonne c'est que l'on n'a pas encore abordé la notion de racine cubique en cours avec le prof ( je suis en 1 ere année de prepa ECE ) . Le prof "revoit" de manière très rapide et complexifie super vite, le cours de terminale S ( nous sortons pour la plupart de ES ) . Donc ca me parait surprenant qu'il faille mobiliser la racine cubique dans cet exercice .... ne me suis je pas trompé par rapport à la question ?

On me demande de déterminer la tangente à C' associée à f-1, au point d'abscisse 1/3

Donc vu que je n'ai pas l'expression de f-1 je la calcule. Je ne me suis pas trompé de démarche ?

par **Clembou** » 18 Jan 2009, 18:51

Non, c'est automatique. Quand on veut connaitre des trucs (ici, l'équation de la tangente) pour

et quand on connait explicitement

, il vaut mieux calculer explicitement

...

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:57

d'accord ... mais le problème que je rencontre là, c'est que maintenant que j'ai l'expression de

je peux utiliser la formule de l'équation d'une tangente :

le problème c'est que je ne connais pas la dérivée de la racine cubique. Je ne connais que la dérivée de la racine carrée ... c'est pour cela que je suis surpris de toutes ces choses que je ne connais pas et que je suis sensé utiliser ....

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 18:59

à moins que ... je viens de faire une recherche sur internet :

est ce que

?

par **Clembou** » 18 Jan 2009, 19:11

Oui, c'est ça !

... Mais je vois pas le rapporchement avec

???

par **Ptiboudelard** » 18 Jan 2009, 19:18

eh bien pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe associée à

ne faut il pas utiliser la formule de l'équation d'une tangente en un point qui est :

auquel cas, on a besoin de connaitre la dérivée de

.

Donc du coup, je me demandais quelle était la dérivée de la racine cubique. Mais là, il me suffit d'utiliser la dérivée de

qui est égale à

par **Clembou** » 18 Jan 2009, 19:20

Ah oui, ok ! Je ne l'avais pas vu dans ce sens là. Ok !

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