Demonstration -injectivité-images directe/réciproque-

[XMika]

Bonjour,

Je cherche à démontrer ces propriétés pour les applications injectives et étant respectivement les images directe et réciproque de .

injective => injective
injective => injective


injective => injective
injective => injective


Merci d'avoir pris le temps de lire ce message.

[Anonyme]

Tu pourrais définir et ? Je me rappelle pas avoir entendu parler de l'image réciproque d'une application, et pour moi l'image directe est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée...

[Anonyme]

Oui, c' est du n' importe quoi

[Fract83]

Hello,

> "pour moi l'image directe est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée"

Je pense que l'image directe d'une application est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée pour tout le monde excepte pour XMika !

Je ne sais pas si c'est a cause du retour des vacances, mais j'ai l'impression qu'il y a de plus en plus d'enonces fantaisistes ces derniers temps !! Quelqu'un peut confirmer ?

Bonne journee.

[Alpha]

Bonjour,
les images directe et réciproque d'un ensemble par une fonction sont des ensembles! Si tu désignes ces ensembles par f+ et f-, puis que tu parles d'injectivité et de surjectivité de f+ et de f-, comme ces derniers termes n'ont de sens que pour des applications, ce qui est écrit n'a a priori pas de sens.

Essaie de corriger l'énoncé, pour qu'on puisse t'aider.

Cordialement, Alpha

[XMika]

J'en référerais à mon professeur.

Merci.

Je vous montre les démonstrations concernant la surjectivité. Preuve du fait que cela n'est pas si inconcevable qu'il ne vous y paraît, enfin il est probable que je me trompe.

pour f surjective => f- surjective
si f est l'unique application de A = {1,2} dans B = {1} f est surjective mais pas f- : P(B)->P(A).


pour f surjective => f- surjective
si f est l'unique application de A = 0 dans B = {1} f-: P(B)->P(A) est surjective mais pas f.

Soit f: P(A)->P(B)
f+ surjective => f surjective
Soit b appartenant à B. Comme f+ est surjective, il existe A' inclus dans A tel que f+(A')={b}. Ce A' n'est pas vide. Soit a appartenant à A'. On a f(a)=b.


Quoi qu'il en soit je demanderais de plus amples détails à mon professeur histoire de corroborer ou non l'explication d'Alpha.

Merci.

[Anonyme]

Ah donc vous avez défini des applications image directe et image reciproque qui vont respectivement de P(A) dans P(B) et de P(B) dans P(A) si f:A->B... Si on précise ça la question est claire mais ce ne sont pas des définitions « standard » donc on pouvait pas deviner...

Pour la surjectivité tu as montré que f- surjective n'implique pas f surjective et f surjective n'implique pas f- surjective, attention quand je lis « pour f surjective => f- surjective » je ne m'attends pas à ce qu'on me montre le contraire.

L'implication f+ injective => f injective est facile : les images de 2 singletons distincts sont distinctes.
Pour f injective => f+ injective : si on prend 2 parties distinctes X et Y de A, soit il existe un élément x de X qui n'est pas dans Y, soit il existe un élément y de Y qui n'est pas dans X, on suppose par exemple qu'on est dans le premier cas. Que peut-on dire de f(x) par rapport à et ?

f injective => f- injective, c'est pas faux ça ?
Avec l'application de {1} dans {1,2} qui envoie 1 sur 1, {1} et {1,2} ont même image par f-. (en fait f- ne peut pas être injective si f n'est pas surjective car si tu prends une partie X de B incluse dans l'image de f, et un point b qui n'est pas dans l'image de f, X et X U {b} ont même image par f-)

f- injective => f injective, c'est faux aussi, si on prend l'application de {1,2} dans {1} f- est injective mais pas f.

C'était quoi la question, montrer les propriétés ou chercher si c'est vrai ou faux ?

[Alpha]

Bonjour,

en fait le problème était que ton prof a donné à des applications des noms qui sont en général réservés à des ensembles, et donc, pour que l'on puisse bien comprendre ce dont il s'agissait, il aurait fallu redéfinir les termes employés, puisqu'ils étaient employés dans un sens différent de celui qu'on leur donne habituellement.

Grâce à ton dernier message, les choses sont maintenant plus claires.

Alpha