Partie de IR de mesure nulle

[Anonyme]

Bonjour

Une partie de IR de mesure nulle est-elle
nécessairement dénombrable ?

Je vous rappelle (mais est-ce utile ?) qu'une partie
D de IR est de mesure nulle si pour tout epsilon > 0
il existe une suite ] a_n, b_n[ d'intervalles ouverts
recouvrant D telle que somme (b_n - a_n) < epsilon.

Merci d'avance

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

PS si vous en avez assez de mes questions dites-le
franchement ;o)

[Anonyme]

> Une partie de IR de mesure nulle est-elle
> nécessairement dénombrable ?

non, l'ensemble de Kantor en est un bon contre-exemple

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
>
> Bonjour
>
> Une partie de IR de mesure nulle est-elle
> nécessairement dénombrable ?

Non, par exemple l'ensemble triadique de Cantor:
On prend A_0 = [0,1] l'intervalle unité
On définit A_(n+1) = en divisant chaque composante connexe de A_n en 3
et en enlevant la partie du milieu.
Pour A_1 on a donc: [0;1/3] u [2/3;1]
A_2 = [0;1/9] u [2/9; 3/9] u [6/9;7/9] u [8/9; 9/9]

etc...

au final on obtient un ensemble indénombrable mais de mesure nulle pour
Lebesgue.

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> au final on obtient un ensemble indénombrable
> mais de mesure nulle pour

Merci beaucoup.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message de news:3FD35ED7.D71A3C43@yahoo.fr...
| Pierre Capdevila a écrit :
| >
| > Bonjour
| >
| > Une partie de IR de mesure nulle est-elle
| > nécessairement dénombrable ?
|
| Non, par exemple l'ensemble triadique de Cantor:
| On prend A_0 = [0,1] l'intervalle unité
| On définit A_(n+1) = en divisant chaque composante connexe de A_n en 3
| et en enlevant la partie du milieu.
| Pour A_1 on a donc: [0;1/3] u [2/3;1]
| A_2 = [0;1/9] u [2/9; 3/9] u [6/9;7/9] u [8/9; 9/9]
|
| etc...
|
| au final on obtient un ensemble indénombrable mais de mesure nulle pour
| Lebesgue.

"au final" ?
Tu as là une suite d'ensembles: Comment definis tu la limite d'une
suite d'ensemble ?

joel

[Anonyme]

joel a écrit :
> Tu as là une suite d'ensembles: Comment definis tu la limite d'une
> suite d'ensemble ?

En prenant l'intersection.

--
Nico.

[Anonyme]

non, une partie de R de mesure nulle n'est pas necesairement denombrable! on
pourrait meme en construire de tres compliquees!
il me semble d'ailleurs que l'ensemble de Cantor est de mesure nulle (a
verifier) et non denombrable.....

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:bqvlgi$26h26o$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Bonjour
>
> Une partie de IR de mesure nulle est-elle
> nécessairement dénombrable ?
>
> Je vous rappelle (mais est-ce utile ?) qu'une partie
> D de IR est de mesure nulle si pour tout epsilon > 0
> il existe une suite ] a_n, b_n[ d'intervalles ouverts
> recouvrant D telle que somme (b_n - a_n)
> Merci d'avance
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>
> PS si vous en avez assez de mes questions dites-le
> franchement ;o)
>

[Anonyme]

Bonjour,


Delphine a écrit:
> non, une partie de R de mesure nulle n'est pas necesairement denombrable! on
> pourrait meme en construire de tres compliquees!
> il me semble d'ailleurs que l'ensemble de Cantor est de mesure nulle (a
> verifier) et non denombrable.....


effectivement, le discontinu de Cantor est de mesure nulle, et il est
équipotent a R, autrement dit il possède la puissance du continu. C'est
un compact dont chaque composante connexe est réduite à un point.
Je le trouve assez fascinant!