Démonstration en Utilisant les épsilons

[ero--senin]

Bonsoir ,
Soit f une fonction continue sur I=[0,+l'infini[


1-Supposons que lim f(x)=+l'infini.
x->+l'inf

Démontrer que pour tout x>a il existe un a appartenant à I tel que f(x)>f(0)

2-En Déduire que f est minoré sur I
3-Démontrer qu'il existe un b appartenan à I tel que f(b)=inf(f(x))
4-Supposons que lim f(x)=-linfini
x->+l'inf

Démontrer qu'il existe un c appartenant à I telque f(c)=sup(f(x))
Merci.

[Purrace]

1) Elle est immediate utilise la def de la limite et f est continue!!
2) Tu prend Min(f(0)...f(a))!!
3) f est cont sur [0,a] atteint ses bornes meme chose pour la suite!

[ero--senin]

Bonsoir , !


J'utilise la définition de la limite donc:
quelque soit A>0 il exite un B appartenant à R quelque soit x appartenant à I tel que :x>0=>f(x)>0

puis on a f continue en 0 à Droite donc:
Tout épsilon>0 il existe un alpha tel que tout supérieur ou égale 0 : |x||f(x)-f(0)|<épsilon.

Mais que faire après ?

[Purrace]

Non la def nous dit que pour tout A, il existe a, qui dépend de A ,tel que pour tout x>a on a f(x)>A et la tu choisit f(0)=A qui existe puisque A est quelconque!

[ero--senin]

la Définition dit que A est stictement positif non?.

[ero--senin]

Grande confusion Je corrige :
lim f(x)=+l'inf
x->+l'inf
<=>quelquesoit A appartenant à R il existe un B tel que quelque soit x appartenant à Df : x>B=>f(x)>A.

[raito123]

si f(0) est positive alors c'est ok !!

Sinon f(0)<0

[ero--senin]

Bonsoir,


on Ignore si f(0) est Positif ou non .

[Purrace]

A n'est pas nécessaire positif!

[ero--senin]

A appartenant à R c'est ce que la Définition Dit : )


Après qu'on a les deux définition comment on fait pour Démontrer que
f(x)>f(0).

[raito123]

(...)
Démontrer que pour tout x>a il existe un a appartenant à I tel que f(x)>f(0)

(...).

Ben on prend A=f(a) !!

[Purrace]

A=f(0)!!! Pas si compliqué que ca , non ?

[ero--senin]

C'est Réglé , Donc comment en Déduite que f est minoré sur I?

[ero--senin]

Des indications Pour Résoudre le 3 svp?

[Purrace]

Sur le segment [0,a] ta fonction est continue donc borné et atteint ses bornes!

[ero--senin]

Bon En Rédaction je mets :



a appartient à I et f est continue sur I , Donc F atteint ses bornes sur le Segment [0,a] , donc il existe a appartenant à I tel que f(a)=l'inf(f(x)).

?