Les coniques: démonstration de l'équation de la tangeante à un cercle

[thomas-3030]

Bonjour, :help:

Je suis en prépa MPSI et l'on me demande de démontrer que l'équation de la tangeante (T) au point M(xo,yo) au cercle (C), d'équation x²+y²-2ax-2by+c=0 (a²+b²-c>0), est xo*x+yo*y-a(x+xo)-b(y+yo)+c=0.

Merci de me donner des pistes pour savoir comment procéder parceque là je séche un peu. :mur:

[Psi]

alors oui j'ai quelque idée ... je suis aussi actuellement en MPSI
Mo ( Xo,Yo ) appartient à C cercle et l'équation du cercle est de la forme ...... et vérifie l'équation de celui-ci .........
ensuite tu note aussi dans le systéme l'équation de D la tangente que Mo vérifie ............
un point M appartient o cercle et à la tangente si il vérifie l'équation de la tangente et celle du cercle
le systéme ............... C
............... D
............... Mo dans C

tu tombe sur quelquechose qui prouve que le seul point M possible vérifiant le systéme est Mo qui appartient a C inter D donc tu conclu

Bonne :happy2: chance

[thomas-3030]

Merci l'idée est bien puis le résultat semble évident mais comment je justifie qu'il n'y a que les coordonnées du point M qui marchent, avec l'unicité des polynomes peut-être, pu je dois trafiquer le système?

[Pythales]

Plus généralement, soit l'équation d'une courbe.
Le coefficient directeur de sa tangents s'obtient par soit
Ecris ensuite l'équation d'une droite dont tu connais le coefficient directeur, et passant par et simplifie en tenant compte que et vérifient l'équation du cercle.

[emdro]

Bonjour,

le plus convaincant est probablement de passer en représentation paramétrique:
x(t)=a+rcost
y(t)=b+rsint
de calculer le vecteur dérivé de coordonnées
x'(t)=-rsint
y'(t)=rcost

Comme ce vecteur n'est jamais nul, il dirige la tangente qui a donc pour équation:
(x-x(t0))*rcost0+(y-y(t0))*rsint0=0

[Maxmau]

Bj

I = (a,b) est le centre
Tu écris l’équation de la droite passant par M0 = (x0,y0) et orthogonale à IM0

[_-Gaara-_]

lol mais ne faites pas aussi compliqué !! >_<

tu prend M(x0,y0) de C. O le centre de ton cercle de coordonnées O(a,b) ensuite soit M'(x,y) un point de l'espace tu sais que OM.MM' = 0 et tu as ton équation !

et c'est un joli résultat que tu peux généraliser en 3D :D

=)

[thomas-3030]

:++: Merci à tous pour toutes ces réponses, j'ai un peu tout testé et la plus facile me semble vraiment la derniére avec le produit scalaire en quelques lignes c'est fini et c'est trés simple à comprendre. Vraiment merci j'ai tout compri, ça fait plaisir :we:

[_-Gaara-_]

De rien :++: