Problème de continuité

[vincdu13]

bonjours j'ai un dm à rendre mais j'ai un petit problème :
on donne la fonction g=(x+2)exp(x-1)-1
1) étudier le sens de variation de g. on admet que lim g(x)=-1 (en -inf.)
2) démontrer que l'équation g(x)=0 possède une unique solution dans R (notée s)

dans le 1), je trouve g décroissante sur ]-inf;-3] et croissante sur [-3;+inf[
seulement le problème que j'ai c'est que pour démontrer le 2) il faut dire que la fonction est continue,définie et monotone sur R. Or ele n'est pas monotone . Je pense qu'il y a une histoire avec lim g(x)= -1 (en -inf), car c'est une asymptote horizontale, mais je ne sais pas trop le démontrer .
merci de votre aide