Probabilité et indépendance

[Mag]

Salut j'ai un petit problème avec un exo de maths sur les probabilité (rien que le mot je fais un blocage et je n'est pas lalogique mathématique du coup j'ai beaucoup de mal) est ce que quelqu'un peut tenter de m'expliquer ce qui suit?

On considère n individus: I1,I2,...,In. I1 reçoit une information sous la forme de "oui" ou "non", la transmet à I2, et ainsi de suite jusqu'à In, qui l'annonce au monde. Chaqu'un d'eux transmet ce qu'il a entendu, avec lap robabilité p(0<= p<=1). Les comportements des n individus sont supposés indépendants. Pour k appartient à [1,n], on note Ak l'évènement:"L'information transmise à l'individu Ik est la même que celle de l'individu I1" et on note p(k) saprobabilité.

Question: Pour k appartient à [1, n-1], donner une relation de récurrence entre p(k+1) et p(k).

[Mag]

personne n'aime les proba?

[makelele]

j'ai du mal comprendre la question packe ca me parait trop simple, mais pour moi
p(k)=p=p(k+1)
nan?

[fourize]

bonjour !

Question: Pour k appartient à [1, n-1], donner une relation de récurrence ntre p(k+1) et p(k).

ntre => ca veux dire quoi?

si tu ne voulais qu'une explication; tout ce joue d'apres ce que j'ai compris sur la probabilité que le message soit OUI ou NON ; effectivement c'est 1/2 .
mais j'ai pas compris la question?

[Mag]

dsl c'est la probabilité entre p(k+1) et p(k), il me manquait une lettre

[makelele]

ntre=entre

[Mag]

ce que tu veux dire Makelele c'est que comme on a une probabilité indépendante, on aura la même probabilité d'avoir "oui" ou "non" pour chaque individu? Ce qui correspond donc à 1/2 c'est ça?

Mais dans ce cas la réponse que tu proposes c'est correct mais ne correspond pas à une relation de récurrence? Si? (à moins que tu considère une récurrence par une suite arithmétique de raison 0 ou une suite géométrique de raison 1 mais c'est plus trop just ça!!!)

[fourize]

alors comme je t'avais dis c 'est 1/2

par recurence; P(k+1)= 1/2 * p(k).
je tiens également à te signaler que la probabilité de P(1) =1.
c'est à dire il entend bien ce qu'on lui dit (tres fun ce genre de truc).

et voila

[Mag]

oki je crois que j'ai pigé le raisonnement
Merci tout le monde

[makelele]

[quote="Mag"]ce que tu veux dire Makelele c'est que comme on a une probabilité indépendante, on aura la même probabilité d'avoir "oui" ou "non" pour chaque individu? Ce qui correspond donc à 1/2 c'est ça?QUOTE]

non p(k) c'est pas la probabilité d'avoir oui ou non,c'est la probabilité que le message reste le meme d'une personne à une autre.
or "Chaqu'un d'eux transmet ce qu'il a entendu, avec la probabilité p(0<= p<=1). "
donc p(k)=p
et comme ils sont indépendant p(k+1)=p
et p peut etre égal à 1/36 1/49... ya pas de 1/2 dans l'histoire

[fourize]

ce que tu veux dire Makelele c'est que comme on a une probabilité indépendante, on aura la même probabilité d'avoir "oui" ou "non" pour chaque individu? Ce qui correspond donc à 1/2 c'est ça?QUOTE]

non p(k) c'est pas la probabilité d'avoir oui ou non,c'est la probabilité que le message reste le meme d'une personne à une autre.
or "Chaqu'un d'eux transmet ce qu'il a entendu, avec la probabilité p(0<= p<=1). "
donc p(k)=p
et comme ils sont indépendant p(k+1)=p
et p peut etre égal à 1/36 1/49... ya pas de 1/2 dans l'histoire

je pense que tu n'as pas pu la troubler , je t'explique:
tout d'abord je te fellicite de ton bon sens de chose; les gros chiffre que sort (1/36; 1/49) au hasard; s'obtient en calculant la probabilité d'un individu k à l'aide de la relation recurence que je viens de donné.
c'est une suite geometrique de raison 1/2 et de premier terme 1.
donc pour k=3 par exemple; P(3)=(1/2)^3 = 1/8.

bonne comprehension !

[Mag]

ok ok il n'y a pas de 1/2, mais je ne comprends pas comment tu arrives à dire que p(k)=p c'est plus que logique puisque c'est la définition même de la probabilité d'être comprise entre 0 et 1 Donc y'a vraiment un truc que je ne pigi pas dans l'énoncé

[Doraki]

Oh là oh là...

Chaque individu k relaie l'information qui lui a été donnée à l'individu (k+1) avec probabilité p, et la change avec la probabilité (1-p).

La probabilité que l'individu 1 transmette l'information qui lui est donnée sans la changer est P(2)=p, et il transmet la négation de cette information avec probabilité 1-p.

Ensuite, chaque individu k reçoit donc une information qui est celle de départ avec la probabilité P(k).
Information qu'il transmet au suivant avec probabilité p de la changer.
En faisant un arbre, on calcule que la probabilité que l'individu k transmette l'information initiale est p * P(k) + (1-p) * (1-P(k)) : ou bien il a reçu la bonne info et l'a transmise correctement, ou bien il a reçu la mauvaise mais il la change et donc il donne la bonne.

Donc P(k+1) = p*P(k) + (1-p)*(1-P(k))

[Mag]

bon gros beug je comprends tout à fait les "gros chiffres" de Makelele mais d'un côté tu dis que il a raison en expliquant ses chiffres avec ta relation de récurrence, d'un autre côté la relation que tu me donnes ne s'accorde pas du tout avec celle qu'il donne lui. Je suis pommée.

[fourize]

oups la;
je rappele que les indivudus sont supposés identique; la probabilité de trasmetre le message d'un individu à son suivant est p telleque 0<=p<=1.
ceci etant: soint 1/2 pour oui soit 1/2 pour non

p(k+1)= 1/2*p(k). aprés reduction on trouve p(k)=(1/2)^k
qui la probabilité d'un individu cas de recevoir le meme message.

je disais par exemple pour l'individu 3 p(3) = 1/8 ;

ce qui justifie bien les grands nombre dites par makelele par bon sens. pour
k tres grand .

[Mag]

j'ai compris les nombres de Makelele c'est pas le problème, en fait je pense que l'expression de p(k) c'est: p(k)=p(1)x(1/2)^k puis qu'on a une suite géométrique et que donc p(k)= 1er terme x raison exposant k du coup je ne comprends pas omment tu trouves ton expression de p(k)

[fourize]

j'ai compris les nombres de Makelele c'est pas le problème, en fait je pense que l'expression de p(k) c'est: p(k)=p(1)x(1/2)^k puis qu'on a une suite géométrique et que donc p(k)= 1er terme x raison exposant k du coup je ne comprends pas omment tu trouves ton expression de p(k)

la personne qui trasmet le message de I1 n'est pas prise en compte dans le probleme; ce qui veux dire I1 reçoit le message avec une probabilité p(1)=1
car c est sur .
donc p(k)=(1/2)^k (*1 si tu prefere).

voila d'ou viens l'expression de p(k)

[Doraki]

D'où il sort le 1/2 ?

[Mag]

okiiiiiiiiiii Merci beaucoup quelle révélation mdr