Le tétra et le trou de souris

[nodgim]

Tétraèdre, bien sûr, et parfaitement circulaire le trou de souris. Quel est le diamètre minimum du trou pour que ce tétraèdre régulier de coté unité puisse le traverser ? On suppose bien sûr que le trou n'a pas d'épaisseur, ce n'est pas un tunnel, mais un passage entre 2 espaces.

[Imod]

En gardant une face parallèle à la base du cylindre on obtient un diamètre mais il est clair qu'on peut faire mieux en basculant le tétraèdre .

Imod

[nodgim]

Vrai, mais attention, ce n'est justement pas un cylindre! et puis, 2/rac3 est plus grand que le coté, or 1 passe sans problème. :happy2:

[Imod]

D'accord , je n'avais pas bien compris , le tétraèdre doit juste franchir une paroi percée d'un trou circulaire : je vais y réfléchir .

Imod

[phryte]

Salut,
Je dirais la hauteur : racine(2/3)=0.8165.

[nodgim]

Bien essayé, mais non, ça ne passe pas. :triste:

[phryte]

Salut.
Je dirais alors la hauteur de la base : sqrt(3)/2 = 0.866

[Imod]

J'ai bien peur que si ne passe pas alors ne passe pas non plus :we:

Imod

[Patastronch]

On peut déjà affirmer que le diamètre vaut au moins celui de la sphère inscrite dans le tetraedre :)

Sinon plus serieusement quelque soient les magouilles de pivotement, à cause de la convexité d'un tetraedre, je ne vois pas pourquoi le fait que ce soit un tunel ou un trou sans épaisseur change quelque chose. En d'autres termes, je dirais qu'il suffit de chercher la projection orthogonale du tetraedre dont le cercle circonscrit est de diamètre minimal.

Pour l'instant je vois pas meilleur diametre que 1 :)

[Patastronch]

Bon je vois pourquoi les magouilles de pivotement peuvent etre benefique.

J'ai trouvé un diamètre (modulo les erreures de raisonnements ) de :

environ égal à 0.8825

Apres comment etre sur qu'on peut pas faire moins :hein: ...

[reday]

bonjour à tous.
pour ce problème je crois que si la base triangulaire du tétraèdre passe par le cercle ,le tétraèdre passe par le trou.
donc le cercle du diamètre minimale c'est le cercle qui entoure le triangle de cote a .
ET d'après mes calcules j'ai trouvé que ce diamètre minimal est égale à

2a/racine(3) avec a la longueur du cote du tétraèdre .

[Patastronch]

Je comprendrais jamais pourquoi les gens postent des réponses sans lire celles des autres :hein:

[nodgim]

(modulo les erreures de raisonnements

Celle là, il faut que je la replace au bureau, elle va passer dans la légende :happy2:

Sinon, 0.8825, pour moi ça ne passe pas. :triste: Mais, je ne suis pas à l'abri d'une erreur, bien sûr. Je n'ai pas trouvé d'expression simple, de toute façon.
Qui a un tétraèdre en carton chez lui ? c'est simple à fabriquer, et ça aiderait bien à comprendre.

[Patastronch]

En effet grosse grose erreur de raisonnement (j'ai remplacé 1/2 par 1//3).

Les meme calculs (et meme raisonnement) me donne en fait :


soit environ 0.9045

[Doraki]

Le diamètre optimal doit être bien galère à calculer numériquement.

[nodgim]

Pas encore cela, j'ai un diamètre plus petit.
L'idée est : ça passe si j'engage 2 sommets. Le second sommet passe avec un pivotement. Au moment où il passe juste, il y a 2 arêtes en contact avec le trou. On a donc 3 points en contact avec le cercle. Quel est alors le cercle minimum circonscrit au triangle fomé d'un point à un sommet et 1 point sur 2 des 3 arêtes opposées ?

[Patastronch]

Pas encore cela, j'ai un diamètre plus petit.
L'idée est : ça passe si j'engage 2 sommets. Le second sommet passe avec un pivotement. Au moment où il passe juste, il y a 2 arêtes en contact avec le trou. On a donc 3 points en contact avec le cercle. Quel est alors le cercle minimum circonscrit au triangle fomé d'un point à un sommet et 1 point sur 2 des 3 arêtes opposées ?

C'est exactement l'idée que j'ai utilisé, mais j'avoue avoir eu la flem de calculer la fonction pour connaitre les 2 points de contacts qui minimisent le diametre (j'ai donc suposé, à tort, que c'était le milieu des arretes). Mais si je ne m'abuse ca devrait donner un polynome qu'on a plus qu'a dériver. Si j'ai la motive j'essaie ce soir !

[Imod]

Pas trop le courage d'attaquer les calculs mais j'ai compris le passage du tétraèdre ( pas facile sans solide à manipuler ) ouf :id:
Je joins un petit dessin pour aider ceux qui comme moi ont du mal à voir en 3D .



La face ACD est "au-dessus" du plan du disque , la partie verte de la face BCD est "au-dessus" et la partie grise "en dessous" .

Attention : A , O , M , N sont dans le plan du disque mais pas (AB) :zen:

Il semble qu'on doit pouvoir exprimer le rayon [OA] avec des radicaux :dodo:

Imod

[Imod]

Pas trop le temps mais au premier abord il semblerait bien que M et N soient les milieux de [BC] et [BD] ...

Imod

[Imod]

... et donc le diamètre du cercle serait le rayon du cercle circonscrit au triangle ...

Je revois tout ça ce soir .

Imod