Enigme : La souris et le fromage

[MJoe]

Énigme : La souris et le fromage



Une maison de campagne comporte 4 pièces : une cuisine, un séjour, une chambre et un garage.
A l’instant t = 0, une souris se trouve dans le garage. Elle peut aller et venir dans chaque pièce en passant par les trous symbolisés par les flèches jaunes.
Toutes les minutes, il y a :
– 50 % de chance que la souris reste dans la pièce où elle est actuellement ;
– 25 % de chance que la souris passe dans une pièce voisine.

Par exemple, pour t = 1 minute, la probabilité que la souris reste dans le garage est égale à 0,50, la probabilité que la souris passe dans la chambre est égale à 0,25 et enfin la probabilité qu’elle passe dans le séjour est égale à 0,25.

Important : Dès que la souris a atteint la cuisine (donc le fromage) elle ne repart plus dans les autres pièces. Elle mange tranquillement le fromage.

Il s’agit de répondre aux deux questions suivantes :
Question Q1 :
Déterminer le nombre de minutes tel que la probabilité que la souris atteigne le fromage soit supérieure à 99 %
Question Q2 :
Quel est le temps moyen (nombre moyen de minutes) mis par la souris pour atteindre le fromage ?

[zygomatique]

salut

je note dortoir la chambre ...

on note et

et M la matrice de transition

alors et on cherche le plus petit entier n tel que

[MJoe]

Bonjour @zygomatique et bonjour à tous,

Il y a une erreur dans la ligne N° 2 de ta matrice M.
Ensuite il faut lancer les calculs (calculatrice, petit programme Scilab ou Python).

MJoe.

[aviateur]

@MJoe.
Je ne pense pas que cela soit correct. La machine ne vas pas s'arrêter. En effet
si on fait les calculs on trouve que
De tout façon sans faire de calcul quand n tend vers l'infini on peut deviner que
il y a équi-probalité d'être dans une pièce qcq.
c'est à dire que la solution proposée par @zygomatique ne tient pas compte du fait que la souris s'arrête
quand elle passe dans la cuisine

[MJoe]

Merci @aviateur, tu as raison.
Lorsque la souris arrive dans la cuisine, elle y reste (et elle mange le fromage).
Donc il y a aussi la ligne 4 à rectifier dans la matrice M ci-avant.

MJoe.

[zygomatique]

oui une erreur fausse !!! : il faut mettre un 0,25 à la place du deuxième 0,5 de la ligne 2

et une erreur vraie : effectivement je n'ai pas pris en compte le fait que la souris reste dans la cuisine une fois qu'elle y est entrée !!

CORRECTION ::

salut

je note dortoir la chambre ...

on note et

et M la matrice de transition

alors et on cherche le plus petit entier n tel que

[MJoe]

Bonjour Zygomatique et bonjour à tous,

La matrice M est juste.
Il reste à faire les calculs pour répondre à Q1 et à Q2.

Bonne journée.
MJoe.

[Pseuda]

Bonjour MJoe,

Sans aucun calcul et sans avoir étudié le problème, une matrice de transition doit avoir la somme des coefficients de chaque ligne ou de chaque colonne (cela dépend comment elle est présentée) égale à 1, non ?

[MJoe]

Bonjour @Pseuda et bonjour à tous,

Non, la somme n'est pas toujours égale à 1, cela dépend des conditions du système. Ici la souris arrête sa marche aléatoire dès qu'elle rencontre le gruyère. Ceci explique cela.
Ici la somme des coefficients de la ligne 3 vaut 1,50.

Autre remarque : la somme des coefficients de chaque colonne vaut 1. Je pense que c'est toujours le cas quelque soit les "conditions imposées" au système.

MJoe.

[aviateur]

@Bonjour
Sauf erreur de ma part avec la nouvelle matrice je trouve que c_n=0 pour tout n. Vous pouvez vérifier?

De plus si on prend U_0=(0,0,1,0) comme vecteur initial (la souris est dans la cuisine) on doit avoir

U_0=M U_0 ce qui ne semble pas le cas.

[MJoe]

Bonjour à tous et bonjour à @aviateur,

La matrice M est juste et on a bien :


C'est-à-dire si la souris était dans la cuisine à l'instant t = 0 et bien elle y reste toujours.
MJoe

[MJoe]

@aviateur

On a :


Donc n'est pas nul pour tout n.
MJoe.

[Pseuda]

Autre remarque : la somme des coefficients de chaque colonne vaut 1. Je pense que c'est toujours le cas quelque soit les "conditions imposées" au système.

C'est bien ce que je dis : la somme des lignes ou la somme des colonnes vaut 1, selon que le vecteur des états successifs est un vecteur ligne ou un vecteur colonne, et qu'il est placé devant ou derrière la matrice de transition. Dans tous les cas, il faut retrouver la formule des probabilités totales. C'est une question de convention.

Tout cela pour dire que ce n'est pas lié au fait que l'état fromage boucle sur lui-même.

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas fait l'effort de voir si la matrice est bonne terme par terme, mais j'ai vérifié sur un exemple si il y a problème ou pas.
Cependant comme c'était écrit tout au début la multiplication matrice vecteur se faisait à la "Russe" (i.e vecteur à gauche) tandis qu'ici il semblerait que la multiplication se fait classiquement (i.e vecteur à droite).
Ce qui veut dire que selon les conventions "M" c'est M ou bien M^t.

[MJoe]

Bonjour @Pseuda et @Aviateur et bonjour à tous,

Pour préciser mon dernier post, je vais préciser les multiplications que j'ai considérées :


On a :


et bien sûr :
MJoe.

[MJoe]

Bonjour @Pseuda,

Une petite précision au sujet de la somme des lignes ou des colonnes. Ce que je voulais dire c'est que si la souris ne boucle pas sur l'état fromage (donc ne s'arrête pas dans la cuisine) et continue sa marche aléatoire et bien la somme des termes des lignes ET la somme des termes des colonnes vaut 1. Si je note K cette matrice qui n'a rien à voir avec cette énigme mais qui sert simplement à préciser les choses, on a pour K :



Attention : cette matrice K n'a rien à voir avec cette énigme.

MJoe.

[aviateur]

D'accord si la matrice est bonne (ce que je pense)
on la diagonalise pour calculer M^n.
Ce qui permet de donner une valeur explicite de c_n
Je vous donne la réponse :


Résultat cohérent avec les valeurs premières valeurs numériques que vous avez donné et aussi avec le fait que c_n tend vers 1 quand n tend vers l'infini. En effet on est sûr que la souris va arriver à manger le gruyère
au bout d'un certain temps

[MJoe]

Bonjour @aviateur et bonjour à tous,

Les formules ne sont pas nécessaires mais c'est bien si elles sont là (tout le monde ne maîtrise pas le calcul formel ou la diagonalisation de matrices). Par contre il faudrait une valeur numérique pour répondre à la question Q1 (ou Q2).

Cordialement,
MJoe.

[aviateur]

Pour la question 1 je trouve n=31. J'ai utilisé ma formule.
On peut chercher ce résultat sans diagonaliser, en programmant les calculs des u_n. A savoir que numériquement les erreurs vont s'accumuler et le résultat peut être différent du mien (si le système est instable)
Je cherche la question 2.

[MJoe]

Bonjour @aviateur et bonjour à tous,


Question Q1 : la réponse est 31 minutes.
Si on note Y la variable aléatoire qui associe le nombre de minutes mis par la souris pour trouver le fromage, le calcul donne :


MJoe