Enigme : La souris et le fromage

[aviateur]

Rebonjour
Pour la réponse 2

[MJoe]

Oui, la suite ?

[aviateur]

Oui
mais il faut dire que p(Y<=30)<0.99
Pour le temps moyen la réponse exacte est 8. Obtenu en calculant la somme de la série associée.

[Pseuda]

Bonsoir,

Petite parenthèse.

Vecteur à gauche de la matrice de transition : vecteur-ligne, dimensions (1x4) * (4x4) = (1x4), la somme des coefficients de chaque ligne de la matrice = 1.

Vecteur à droite de la matrice de de transition : vecteur-colonne, dimensions (4x4) * (4x1) = (4x1), la somme des coefficients de chaque colonne de la matrice = 1.

Je ne connaissais pas "à la russe". Merci pour l'info.

Une petite précision au sujet de la somme des lignes ou des colonnes. Ce que je voulais dire c'est que si la souris ne boucle pas sur l'état fromage (donc ne s'arrête pas dans la cuisine) et continue sa marche aléatoire et bien la somme des termes des lignes ET la somme des termes des colonnes vaut 1.

Je ne pense pas ? Par exemple cette marche aléatoire : P(An+1/An)=0,2 ; P(Bn+1/An)=0,8 ; P(An+1/Bn)=0,7 ; P(Bn+1/Bn)=0,3 . Il n'y a pas d'arrêt sur un état et la matrice avec le vecteur à droite est : , soit une somme de termes de chaque colonne est égale à 1, mais pas des lignes.

[aviateur]

Rebonjour En fait le calcul matriciel par les russes et transposé par rapport à nous. D'où mon expression

[Pseuda]

Ok. Dans le programme de l'enseignement secondaire, c'est le plus souvent vecteur à gauche.

[zygomatique]

enfin quelqu'un qui voit que je multiplie à droite par une matrice ... et qu'on trouve indifféremment des exercices avec les deux types de produit ...

même si généralement on multiplie un vecteur à gauche par une matrice mézalor il faut écrire ce vecteur en colonne ce que je n'ai pas fait ... car trop chiant ...

[MJoe]

Bonjour à tous,

Moi non plus je ne connaissais pas la multiplication "à la Russe". Comme quoi les forums sont très enrichissants.
Merci @Pseuda pour ta précision sur la somme des coefficients des lignes et des colonnes. Effectivement dans ton exemple une des sommes vaut 0,9 et l'autre 1,1.
Ce qui est sûr c'est qu'au moins l'une des deux sommes (soit celle des lignes ou soit celle des colonnes) vaut 1.

Bon, nous avons une réponse de @aviateur : Il a trouvé un temps moyen de 8 minutes pour la souris.


Bonne réponse !
Question Q2 : la réponse est 8 minutes.

Pour obtenir ce résultat, il faut calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y.
Je note E(Y) l'espérance de Y. On a la relation suivante :


Voici les valeurs numériques de P(Y = k) :

Code: Tout sélectionner

Matrice P :
 
         column  1 to 10
 
    0.    0.125    0.125    0.109375    0.09375    0.0800781    0.0683594    0.0583496    0.0498047    0.0425110 
 
         column 11 to 19
 
    0.0362854    0.0309715    0.0264359    0.0225644    0.0192599    0.0164394    0.0140319    0.0119770    0.0102230 
 
         column 20 to 28
 
    0.0087259    0.0074480    0.0063573    0.0054263    0.0046316    0.0039533    0.0033744    0.0028802    0.0024584 
 
         column 29 to 37
 
    0.0020984    0.0017911    0.0015288    0.0013049    0.0011138    0.0009507    0.0008115    0.0006926    0.0005912 
 
         column 38 to 46
 
    0.0005046    0.0004307    0.0003676    0.0003138    0.0002678    0.0002286    0.0001951    0.0001666    0.0001422 
 
         column 47 to 55
 
    0.0001213    0.0001036    0.0000884    0.0000755    0.0000644    0.0000550    0.0000469    0.0000401    0.0000342 
 
         column 56 to 64
 
    0.0000292    0.0000249    0.0000213    0.0000181    0.0000155    0.0000132    0.0000113    0.0000096    0.0000082 
 
         column 65 to 73
 
    0.0000070    0.0000060    0.0000051    0.0000044    0.0000037    0.0000032    0.0000027    0.0000023    0.0000020 
 
         column 74 to 82
 
    0.0000017    0.0000014    0.0000012    0.0000010    0.0000009    0.0000008    0.0000007    0.0000006    0.0000005 
 
         column 83 to 91
 
    0.0000004    0.0000003    0.0000003    0.0000003    0.0000002    0.0000002    0.0000002    0.0000001    0.0000001 
 
         column  92 to 100
 
    9.759D-08    8.330D-08    7.110D-08    6.069D-08    5.180D-08    4.422D-08    3.774D-08    3.221D-08    2.750D-08 
Valeur de l'espérance E(Y) = 8.000


Et l'histogramme correspondant :


En abscisse : les différents temps (en minutes) mis par la souris pour atteindre le gruyère
En ordonnée : les probabilités correspondantes.
MJoe

[MJoe]

Oui
mais il faut dire que p(Y<=30)<0.99
Pour le temps moyen la réponse exacte est 8. Obtenu en calculant la somme de la série associée.

@aviateur : non, la condition de la question 1 s'écrit bien : déterminer n (le nombre de minutes) tel que :

Cela ne marche pas pour 30 car
Pour 31 minutes :

Pour celles et ceux que cela intéresse, voici les valeurs de la fonction de répartition, pour différentes valeurs de n :

Code: Tout sélectionner

Fonction de répartition PHI :
        column  1 to 10
 
    0.    0.    0.125    0.25    0.359375    0.453125    0.5332031    0.6015625    0.6599121    0.7097168 
 
         column 11 to 19
 
    0.7522278    0.7885132    0.8194847    0.8459206    0.8684850    0.8877449    0.9041843    0.9182162    0.9301931 
 
         column 20 to 28
 
    0.9404161    0.9491420    0.9565900    0.9629472    0.9683735    0.9730051    0.9769584    0.9803327    0.9832130 
 
         column 29 to 37
 
    0.9856714    0.9877697    0.9895608    0.9910896    0.9923945    0.9935083    0.9944590    0.9952704    0.9959631 
 
         column 38 to 46
 
    0.9965543    0.9970589    0.9974896    0.9978572    0.9981710    0.9984389    0.9986675    0.9988626    0.9990292 
 
         column 47 to 55
 
    0.9991714    0.9992927    0.9993963    0.9994847    0.9995602    0.9996246    0.9996796    0.9997265    0.9997665 
 
         column 56 to 64
 
    0.9998007    0.9998299    0.9998548    0.9998761    0.9998942    0.9999097    0.9999229    0.9999342    0.9999439 
 
         column 65 to 73
 
    0.9999521    0.9999591    0.9999651    0.9999702    0.9999746    0.9999783    0.9999815    0.9999842    0.9999865 
 
         column 74 to 82
 
    0.9999885    0.9999902    0.9999916    0.9999928    0.9999939    0.9999948    0.9999955    0.9999962    0.9999968 
 
         column 83 to 91
 
    0.9999972    0.9999976    0.9999980    0.9999983    0.9999985    0.9999987    0.9999989    0.9999991    0.9999992 
 
         column  92 to 100
 
    0.9999993    0.9999994    0.9999995    0.9999996    0.9999996    0.9999997    0.9999997    0.9999998    0.9999998 


Et la courbe correspondante :





MJoe.

[aviateur]

@ M.Joe
Non M. Joe quand tu dis déterminer le nombre n tel que "XXXXX" On sous-entend que l'on cherche le plus petit n vérifiant "XXXXX" Donc pour donner la bonne valeur de n (ici n=31) il faut montrer que n=30 ne convient pas .

[MJoe]

Oui @aviateur mais il faut aussi montrer que n = 31 convient car il pourrait ne pas convenir non plus.
Bonne soirée.
MJoe.

[aviateur]

Là tu dis une évidence !!

[MJoe]

Bon, j'attends toujours des clients pour les autres énigmes avec les kiwis.
MJoe.