Pb interpolation cubique

[fayce78]

Bonjour à tous,

je me suis plongé dans la lecture d'une résolution matricelle représentant un interpolation cubique. je recherche le taux R(0,t) de maturité t défini par :

R(0,t) = at^3 + bt^2+ct+d

sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0,t1), R(0,t2), R(0,t3), R(0,t4). D'où le système à résoudre:


R(0,t1) = at1^3 + bt1^2+ct1+d
R(0,t2) = at2^3 + bt2^2+ct2+d
R(0,t3) = at2^3 + bt2^2+ct2+d
R(0,t4) = at2^3 + bt2^2+ct2+d

On se donne les taux suivant :
R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6%

Calculer le taux de maturité 2.5 ans ? (la réponse est la suivante mais je ne comprend pas la résolution de a, b, c, d)
R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375%
avec
a
b =
c
d

1 1 1 1 3%
8 4 2 1 5%
27 9 3 1 5.5%
64 16 4 1 6%

=

0.0025
-0.0225
0.07
-0.02


Merci de votre aide

[bombastus]

Bonsoir,

Calculer le taux de maturité 2.5 ans ? (la réponse est la suivante mais je ne comprend pas la résolution de a, b, c, d)
R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375%
avec
a
b =
c
d

1 1 1 1 3%
8 4 2 1 5%
27 9 3 1 5.5%
64 16 4 1 6%

=

0.0025
-0.0225
0.07
-0.02

Tu n'aurais pas oublié quelque chose dans le développement matriciel?
(développement qui n'est pas clair comme tu l'as écris)
Tu as le système suivant à résoudre:

R(0,t1) = at1^3 + bt1^2+ct1+d
R(0,t2) = at2^3 + bt2^2+ct2+d
R(0,t3) = at2^3 + bt2^2+ct2+d
R(0,t4) = at2^3 + bt2^2+ct2+d

Posons les éléments suivant :




et


le système de départ est équivalent à :
T*A = R
donc si T est inversible, on a :

donc :

C'est ce résultat qui a sans doute été utilisé, mais j'ai du mal à lire ce que tu écris...
(sinon le système doit aussi pouvoir se résoudre avec le pivot de gauss par exemple)

[fayce78]

reBonjour,

tu as raison c'est bien ce type de résultat

dans cet énoncé;
- la matrice correspond à T
- les taux (en pourcentage) à R
- enfin A aux élément que je ne comprends pas (a,b,c,d)...

Peux tu m'expliquer le détail du calcul qui mène aux résultat 0.0025, 0.0225...

tks

[bombastus]

Et bien je n'ai pas grand chose à expliquer en plus :
On a


Il suffit de calculer et de multiplier par R pour obtenir a,b,c et d.
Quel est ton niveau? Sais-tu le faire?

[abcd22]

Bonjour,
Le but est de trouver un polynôme de degré au plus 3 qui prenne des valeurs données aux points t1, t2, t3 et t4, c'est précisément ce à quoi servent les polynômes d'interpolation de Lagrange. Les formules données dans le lien sont ce que donnerait l'inversion de la matrice T de bombastus.