[TS] Exercice sur les intégrales :s

[systemoframmfilth]

Bonjour tout le monde,

Ma prof de maths m'a donné pour m'entraîner, un exercice sur les intégrales, mais je ne le comprends vraiment pas :triste:

Voici l'énoncé de l'exercice :



Je suis bloqué dès la première question, à vrai dire j'ai une très vague idée de la solution, mais cela n'est pas très "scientifique" ^^. J'imagine juste, "au flair" que b = exp(x) et que a = 0...

Si quelqu'un pouvait m'aider, ça serait vraiment sympa de sa part,

Merci beaucoup d'avance :happy2:

[ayanis]

Bonsoir,

Ton intuition n'est pas bonne, puisque exp(x) n'est pas un réel mais une fonction :) de plus, ce résultat aurait peu d'intérêt, tu ne ferais que réécrire la même chose.

Pour la première question je te conseille de mettre les deux termes au même dénominateur. Tu auras alors a et b par identification :)
Cordialement,

[systemoframmfilth]

Merci c'est gentil d'avoir répondu :)

Alors, en utilisant votre methode, j'obtiens :

exp(x) / (1+exp(x)) = (a + a*exp(x) + b)/(1+ exp(x))

J'obtiens donc par identification a=1 et b=-1 mais je ne suis pas sur à 100% de mes résultats.

Pourrais-je avoir confirmation/infirmation de mes résultats ? :)

Merci beaucoup d'avance ;)

[ayanis]

Oui, les résultats sont bons pour a et b :)

[systemoframmfilth]

Ok merci :)

Par contre pour la suite de la première question, je ne vois pas comment, à partir de mes résultats, je peux en déduire le calcul de l'intégrale...(je sais, mon niveau en maths est déplorable.....)

[ayanis]

Non ton niveau en maths n'est pas déplorable, tu as trouvé a et b, tu manques juste de confiance en toi

Tu as a = 1 et b = -1, donc tu peux avoir en remaniant légèrement ton égalité. Tu pourras ensuite décomposer l'intégrale en somme de deux intégrales que tu connaitras.

Je ne suis pas sure d'être très claire là. En gros, = 1 -

Tu as donc deux intégrales : une intégrale d'une fonction constante, et une ... je te laisse trouver.

[systemoframmfilth]

... et une intégrale d'une fonction continue ? ^^ J'ai calculé la dérivée de exp(x) / (1+x) et j'ai trouvé quelque chose de compliqué :s

[Toadstool]

Tu brules. Tu n'es pas tres loin de la reponse. C'etait juste peut-etre pas la bonne primitive. :we:

Bon courage !

[ayanis]

Essaye de dériver . Tu trouves quoi ? Qu'est ce que tu en déduis sur ?

Tu sais maintenant calculer la deuxième intégrale ?

[systemoframmfilth]

Pour e(x) + 1 je trouve en dérivée e(x);

Donc pour e(x) / (e(x) +1) , je trouve en dérivée e(x) / e(x) = 1 mais je sens que je dis des bêtises ( c'est pas plutôt dans le genre (u'v-uv')/v² ? ^^)

Merci d'avance ;)

[ayanis]

Euh si, tu dis une bêtise mais tu te corriges tout de suite . ce qui pouve que tu connais la réponse

Par contre, une intégrale cherche la primitive d'une fonction et non sa dérivée. Tu vois que tu as du si tu considères u =

Et tu veux une primitive de cette fonction, connqis tu une fonction f pour laquelle f'(u) = ?

[systemoframmfilth]

euh ln|u| ? Enfin, je veux dire par là que ln|u| est la primitive d'une fonction du genre u'/u

[ayanis]

Très bien :)

Donc tu connais maintenant la valeur de ton intégrale de la première question, normalement.

Passons à la deuxième. As tu trouvé la valeur de f+f' ?

[systemoframmfilth]

Désolé du retard pour la réponse,

Pour la première question, l'intégrale est égale à ln |e(x) + 1| non ?

Pour la seconde question :

Dérivons f(x) :

f(x) est de la forme u(x)*v(x)

Où u(x) = e(-x) et v(x) = ln (1+e(x))

u'(x) = -e(-x) et v'(x) = 1/(1+e(x))

Ainsi,
f'(x) = -e(-x) * ln (1+e(x)) + e(-x) * 1/(1+e(x))

=-e(-x) * ln (1+e(x)) + e(-x) / (1+e(x))

f'+f = e(-x) * ln (1+e(x)) -e(-x) * ln (1+e(x)) + e(-x) / (1+e(x))

Ca se simplifie, et on obtient f' + f = e(-x) / (1+e(x))

Y a-t-il une erreur quelque part ?

Merci d'avance ;)

[ayanis]

Pas de souci pour le délai c'est normal :)

Pour la première question, la primitive vaut bien ça, mais là c'est l'intégrale de 0 à alpha. Mais tu as la réponse oui :)

Pour la seconde partie tu as une erreur de calcul. v'(x) ne vaut pas ça, le pire c'est que tu l'as fait dans la question juste avant : dérivée de ln(u). Dommage, le reste était bon. Tu vas avoir une simplification qui sera bien arrangeante en plus grâce à celà :)

[Toadstool]

Pour la première question, l'intégrale est égale à ln |e(x) + 1| non ?

Effectivement, une primitive de est bien (tu remarqueras que tu peux enlever la valeur absolue puisque ce qu'il y a entre parenthese est tout le temps strictement positif). Mais attention, ta question 1 ne s'arrete pas la :happy2:

[systemoframmfilth]

Ah oui oups ^^

Alors pours la 1)

La primitive étant égale à ln (e(x) +1) donc l'intégrale est égale à :

ln (e(alpha)+1) - ln (2)

Pour la 2)

f'(x) = -e(-x) * ln (1+e(x)) + (e(-x) * (x))/(1+e(x))

= -e(-x) * ln ( 1+e(x)) + e / (1+e(x))

On trouve

f' + f = e/(1+e(x)) mais je sens qu'il y a une erreur quelque part, vu que vous avez parlé d'une "simplification bien arrangeante" ^^

Merci d'avance ;)

[ayanis]

Pour la 2)

f'(x) = -e(-x) * ln (1+e(x)) + (e(-x) * (x))/(1+e(x))

= -e(-x) * ln ( 1+e(x)) + e / (1+e(x))

Tu l'as presque, je crois que tu as oublié un e sur la première ligne de calcul. Et et non, la réponse n'est pas e :p

Sinon tu as le résultat et le fait que ce soit arrangeant c'est que tu retrouveras quelque chose que tu as déjà vu avant donc quelque chose dont tu connais le résultat et tu pourras finir ton exercice

[systemoframmfilth]

Je suis bête xD la réponse est 1 pour e(x) * e(-x) non ?

Par la suite, on en déduit que f' + f = 1 / ( 1+e(x))

Et effectivement, ce résultat me rappelle quelque chose :)

[systemoframmfilth]

Je ne suis pas du tout sur de ma réponse,

I(alpha) = ln (e(alpha)+1) - ln (2) ?

Merci d'avance ;)