Equations fonctionnelles

[lapras]

Bonsoir,
1)Trouver toutes les fonctions f telles que :




2)Trouver toutes les fonctions f telles que :



Pour la deuxieme, je la donne pour vous, mais s'il vous plait ne poster pas la solution sur le forum, car elle fait partie des envois animaths de mars qui ne sont pas encore finis...

Bon courage ! :happy2:

[ffpower]

Pas d hypotheses de regularité pour la premiere?

[lapras]

Non aucune ;)
En fait elle est tres simple, faut juste penser a qqchose...

[Help]

Pour la première :

En prenant x=0 et y=0, on trouve f(0)=0

En prenant -x et y=0, on trouve f((-x)²) = (-x)(f(-x)), soit f(x²)=-x f(-x)
or f(x²) = x f(x) donc pour x<>0, f(-x)=-f(x). f est impaire

enfin, en appliquant à x et y=1 puis à x et y=-1, cela donne
f(x²-1)=(x-1)(f(x)+f(1))=(x+1)(f(x)+f(-1))
f est impaire donc f(-1)=-f(1) et l'égalité devient
(x-1)(f(x)+f(1))=(x+1)(f(x)-f(1))
on développe et on simplifie, il vient 2x f(1) = 2 f(x) et donc f(x) = x f(1)

Donc pour moi, la solution est l'ensemble des fonctions linéaires (f(x)=ax)

[lapras]

Oui c'est ca , bon raisonnement : tu as utilisé les symétries de l'équation fonctionnelle :happy2:

[lapras]

C'est bon pour la 2eme l'envoi est terminé vous pouvez poster votre solution ! :happy2:

[ThSQ]

Si f(1) = 0 alors f=0

Si f(1) != 0 :

f(0) = 2f(0) => f(0) = 0.
f(2) = 2
f(4) = 4
f(5) = 5

...

Ensuite on écrit un carré sous forme de carrés plus petits :

(4n+1)² = (4n-1)² + (2n+2)²-(2n-2)²
....

Il suffit d'avoir commencé et f(n) = n

[lapras]

2)Trouver toutes les fonctions f telles que :



Jolie solution, tu as trouvé la bonne factorisation
on peut utiliser ce lemme de fermat :
p premier tel que p=1[4] il existe a et b entiers naturels tels que p = a² + b²
puis on peut utiliser l'égalité
(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad - bc)²
ce qui montre
que tout entier congru a 1 mod 4 peut etre calculé grace a cette identité remarquable
ce qui nous fait penser aux restes dans la division par 4 et nous fait donc chercher l'égalité :
(4q+r)² = (4q-r)² + (2q+2r)² - (2q-2r)²
par récurrence forte, f(n) = n :happy2:
autre solution :

tout nombre entier naturel peut s'écrire sous la forme de 5x+2y
avec x et y entiers
preuve :
théoreme de bezout :
il existe (u ; v) dans Z² tels que 5u + 2v = 1
=>
n = 5*(un) + 2*(vn)
x = u*n
y = v*n
ce lemme démontrer, on peut "remarquer que" :
(5x+2y)² + y² = (4y + x)²+ (3y + 2x)²
par récurrence forte, on fini par démontrer que f(n) = n

cqfd

[lapras]

Déterminer toutes les fonctions f : N -> N telles que, pour tout entier n > 0 :
f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n

Bonne chance :happy2:

[ThSQ]

Tu l'as déjà posé non ? (nombre d'or)

[ThSQ]

Bonne chance :happy2:

Ca a pas l'air dur.

f est injective.

f(0) = 0.

f^n(1) >= 1 et 3 >= 3f(1) >= 3
....


f(n) = n

[lapras]

Nan c'est pas dur du tout, mais pour ceux qui ne sont pas habitués aux équas fonctionnelles je trouve que ca fait un bon entrainement.

[ThSQ]

Nan c'est pas dur du tout, mais pour ceux qui ne sont pas habitués aux équas fonctionnelles je trouve que ca fait un bon entrainement.

Oui c'est un joli problème, intéressant !

Comme tu avais dit "Bonne chance" je n'attendais à un truc vraiment très dur, c'était pas pour dire que le pb était facile.

[ffpower]

Tiens ca m inspire..qu est ce qu il se passe dans la version continue...Pour tout x de R,fofof(x)+fof(x)+f(x)=3x..J ai pas encore cherché,mais ca a l air amusant...

[ThSQ]

Tiens ca m inspire..qu est ce qu il se passe dans la version continue...Pour tout x de R,fofof(x)+fof(x)+f(x)=3x..J ai pas encore cherché,mais ca a l air amusant...

J'ai pas trop le temps d'y réfléchir à deux fois, j'espère que c'est bon :

f est injective de la même façon.

Injectif + C° => strictement monotone.


* f strict croissante.

Si f(x) x) alors f^n(x) x) et contradiction


* f strict décroissante

- Si f(x) f(x) et f^3(x) x

Conclusion f(x) = x est la seule soluce.

[ffpower]

Euh,pk f²(x)>x est contrad?

[ThSQ]

Regarde l'écart entre x et f^(2n)(x) et entre x et f^(2n+1)(x)




(je ferais mieux de bosse ma physique au lieu de faire joujou :marteau: )

[ffpower]

Ok j ai finalement reussi a obtenir le resultat par ta methode apres 3/4 d heures de bidouilles,mais t aurai pu expliciter un peu plus lol.Je suis meme pas sur d avoir conclu de la meme facon.
donc f²(x)>x,et en reappliquant f²,f^4(x)>x
or 3f(x)=f²(x)+f^3(x)+f^4(x)>f²(x)+f^3(x)+x
En rajoutant f(x) des 2 cotés,on obtient
4f(x)>f(x)+ f²(x)+f^3(x)+x=4x contradiction

J avais moi aussi reussi l exo,mais par des methodes bien plus compliquees(suites reccurentes tout ca tout ca^^)

[lapras]

je propose cette équation fonctionnelle (je l'ai inventée) :




Bonne chance :we:

[ThSQ]

t aurai pu expliciter un peu plus lol.

Hier soirée exclusivement consacrée à la physique (sauf 1/4 heure pour ton exo) car mon retard dans cette matière avait largement dépassé le seuil d'alerte :mur: :marteau:

Bon sinon j'ai fait en gros comme toi mais de manière "visuelle" en regardant comment se distribuent et s'écartent les valeurs de f^n(x) autour de x.