Deux exos sympas :
**Trouver toutes les fonctions f telles que pour tout x réel non nul :
**Trouver toutes les fonctions f dérivables sur
A+
équations fonctionnelles
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équations fonctionnelles
par nekros » 19 Aoû 2006, 21:36
Salut,
Deux exos sympas :
**Trouver toutes les fonctions f telles que pour tout x réel non nul :+f(\frac{1}{x})=x)
**Trouver toutes les fonctions f dérivables sur
telles que pour tout x réel : -2f(-x)=0)
A+
Deux exos sympas :
**Trouver toutes les fonctions f telles que pour tout x réel non nul :
**Trouver toutes les fonctions f dérivables sur
A+
par Bouchra » 19 Aoû 2006, 23:09
Pour la première,
on a :
(1/x) f(-x) + f(1/x) = x donc aussi (-1/x)f(x) +f(-1/x) = -x , et x f(-1/x) + f(x) = 1/x càd : f(-1/x) + (1/x) f(x) = 1/x^2 .
En faisant la différence, on obtient :
(2/x) f(x) = 1/x^2 + x d'où :
f(x) = (1/x^2+x)*(x/2) = 1/(2x) + x^2/2. pour tout x non nul, et on prend f(0) quelconque .
On vérifie que ça marche .
Pour la deuxième: (sauf erreur)
on a xf'(x)-2f(-x) = 0 donc aussi -xf'(-x) - 2f(x) = 0 .
En faisant la différence on obtient :
x[f'(x)+f'(-x)]-2[f(-x)-f(x)] = 0
On pose g(x) = f(x)-f(-x), on a donc :
x g'(x)+2 g(x) = 0
d'où g(x) = a/x^2 sur R+* et g(x) = -a/x^2 sur R-* (car g(x) = -g(-x) )
g est continue donc g(x) = 0 sur R
d'où f(x) = f(-x)
On se ramène à : xf'(x) -2 f(x) = 0 et f(x) =f(-x) d'où
f(x) = c x^2
on a :
(1/x) f(-x) + f(1/x) = x donc aussi (-1/x)f(x) +f(-1/x) = -x , et x f(-1/x) + f(x) = 1/x càd : f(-1/x) + (1/x) f(x) = 1/x^2 .
En faisant la différence, on obtient :
(2/x) f(x) = 1/x^2 + x d'où :
f(x) = (1/x^2+x)*(x/2) = 1/(2x) + x^2/2. pour tout x non nul, et on prend f(0) quelconque .
On vérifie que ça marche .
Pour la deuxième: (sauf erreur)
on a xf'(x)-2f(-x) = 0 donc aussi -xf'(-x) - 2f(x) = 0 .
En faisant la différence on obtient :
x[f'(x)+f'(-x)]-2[f(-x)-f(x)] = 0
On pose g(x) = f(x)-f(-x), on a donc :
x g'(x)+2 g(x) = 0
d'où g(x) = a/x^2 sur R+* et g(x) = -a/x^2 sur R-* (car g(x) = -g(-x) )
g est continue donc g(x) = 0 sur R
d'où f(x) = f(-x)
On se ramène à : xf'(x) -2 f(x) = 0 et f(x) =f(-x) d'où
f(x) = c x^2
par aviateurpilot » 20 Aoû 2006, 00:19
1er exo)
on a+f(\frac{1}{x})=x)
(1)
on remplace
par 
: +f(-x)=-\frac{1}{x})
(2)
en remplace dans (2) f)
par )
on trouve:=-\frac{1}{x})
donc=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x})
par suite=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}})
on a
on remplace
en remplace dans (2) f
on trouve:
donc
par suite
par nekros » 20 Aoû 2006, 19:11
Salut,
Désolé de répondre tard !
Bravo à vous deux : la solution est=\frac{x^3+1}{2x})
Pas de proposition pour la seconde ? (même en dérivant...)
A+
Désolé de répondre tard !
Bravo à vous deux : la solution est
Pas de proposition pour la seconde ? (même en dérivant...)
A+
par nekros » 20 Aoû 2006, 20:07
Bouchra a écrit:Salut,
Pour la seconde, regarde mon message précédent ..
Oups désolé :briques: Ta réponse est correcte !!
Je pensais avoir lu tout ton message...bizarre.
A+
par Bouchra » 21 Aoû 2006, 12:25
nekros a écrit:Je pensais avoir lu tout ton message...bizarre.
Peut-être tu l'as lu avant que j'aie édité : j'avais pas encore trouvé la réponse.
par nekros » 23 Aoû 2006, 16:32
Bouchra a écrit:Peut-être tu l'as lu avant que j'aie édité : j'avais pas encore trouvé la réponse.
Sûrement...
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