Variations de Fonctions

[demon94]

Bonjour à tous,

J'ai un problème avec un exercice, voici l'énoncé :

"a" est un réel. f est la fonction polynome définie par f(x) = x^3+ax²+x+1.
Existe-t-il un ou des réels "a" tel que f est strictement croissante sur R.

J'ai dérivée la fontion et j'ai trouvé f'(x) = 3x²+2ax+1
Et ensuite je dois résoudre f'(x) = 0. Je fais donc delta, mais comme nous avons un réel "a" qui nous est inconnu, je ne sais pas comment faire, car je trouve delta = 4a² - 12 et on ne peut pas en déduire le signe de l'expression !

Merci d'avance, ciao. :help:

[rene38]

Bonjour

Tu cherches donc une condition pour que le trinôme 3x²+2ax+1 soit strictement positif quel que soit x. Signe d'un trinôme ...

[demon94]

bonjour je ne comprend toujours pas il faut étudier 3x²+2ax+1>0 ?? si nojn pouvez m'aider svp merci d'avance à bientot.

[Sa Majesté]

Tu as calculé le discriminant. Celui-ci dépend de a (delta = 4a² - 12).
Donc en fonction des valeurs de a, il sera positif, négatif ou nul.
Que peux-tu dire alors de l'équation f'(x)=0 (qui permet de trouver les variations de f) ?

[demon94]

je ne comprend pas du tout comment trouver les réels (s'il en existe) avec le a dans delta pouvez vous m'aider plus svp merci d'avance

[Dominique Lefebvre]

je ne comprend pas du tout comment trouver les réels (s'il en existe) avec le a dans delta pouvez vous m'aider plus svp merci d'avance

Combien de fois faudra-t-il rabâcher que ce n'est pas "delta" mais le discriminant !!

[demon94]

Alors j'ai fait avec les conditions: si a0, a=0 :




mais il me reste à trouver les intervalles où a est strictement croissant sur R
merci de votre aide à bientot

[Dr Neurone]

Bonjour Démon94 ,
Attention , pour chercher le signe de delta =4(a+V3)(a-V3) !
delta > = 0 lorsque x<=-V3 ou x >=V3
Ton trinome est positif quelque soit x si delta <0 , auquel cas il a le signe du coeff de x² qui est positif

[demon94]

pour étudier le signe il faut faire a(x-x1) (x-x2) et la on fait pas ca et quand on dévelloppe 4(a+3)(a-3) on ne toruve pas 4a²-12 mais on trouve 4a²-36

[Dr Neurone]

Reprenons , il s'agit de chercher les valeurs de a telles que la fonction soit croissante . Il faut donc que la dérivée soit >0 ok ?
Elle l'est lorsque 4a²-12 <0 soit 4(a-V3)(a+V3)<0 D'ou ...

Autant pour moi j'avais oublié la racine dans le post précédent.

[demon94]

j'ai fait ca:



Après on fait pareil mais quand c'est inférieur à 0 ?? et on le fait aussi quand c'est égal à 0 ??

[Dr Neurone]

Je crains que çà dure le WE cette histoire . C'est le signe de f '(x) qui nous interesse ,
DELTA DOIT ETRE 0 POUR TOUT X

[demon94]

Bon remmettons nous à 0 :happy2: faut il utiliser ou pas delta
si oui j'ai refait ca:

[Dr Neurone]

Non ! pour résoudre une inéquation du 2nd degré il faut factoriser , étudier le signe du trinome et relever le ou les intervalles solutions !
Toi tu résous çà comme un 1er degré ; pas bon.

[demon94]

A ok c'est bon j'ai compris


mais ya le 1/x qui gène

[Dr Neurone]

Pourquoi tu factorises f(x) ? tu t'entraines ou quoi ? c'est f '(x) qui nous préoccupe pas f(x) ! c'est le jeu de la caméra caché ou j'hallucine ?

[demon94]

non c'est pas une caméra :ptdr:
j'ai refait ca:



mais on fait comment pour trouver x dans 3x+2a+1/x=0

[Dr Neurone]

Qui t'a dit de résoudre f '(x) = 0 ?
on veut résoudre f '(x) >0

[demon94]

a oui il faut étudier pour que la focntion soit strictement croissante donc c'est bon j'ai fait ca :



mais aussi on trouve comment x dans 3x+2a+1/x=0 à cause du 1/x

[Dr Neurone]

Non non non ...
Regarde la démarche :
f(x) croissante => f '(x)>0 => delta < 0 => 4(a+V3)(a-V3)<0 =>
-V3