Exercice Terminale S variations de fonctions composées

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spartan
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Exercice Terminale S variations de fonctions composées

par spartan » 14 Nov 2012, 22:11

Bonsoir,
Je suis élève de Terminale S, je sollicite votre aide pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Voici l'énoncé :

L’objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +;)[ respectivement par f(x)=;)(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=g(x)-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +;)[.

1)a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x;)0, g'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +;)[
Ma réponse : (je ne mets pas toutes les étapes pour ne pas surcharger le message)
f(x)=;)(x+1)
f'(x)= 1/(2;)(x+1))
f''(x)= -(1/4)*(;)(x+1)/(x+1)²)
f'''(x)= 3/[8(x+1)²(;)(x+1))]
Je démontre g'''(x) :
g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8)
g'(x)= f'(x)-(1/2)+(1/4)x
g''(x)= f''(x)+(1/4)
g'''(x)= f'''(x)
Ensuite je dresse le tableau de signe g'''(x) ou je constate que g'''(x)est strictement positive sur [0; +;)[ donc g''(x) est croissante sur [0; +;)[.
b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g'(x ) puis les variations de g' et enfin le signe
de g(x) sur [0; +;)[
Ma réponse :
g''(0)=0
g''(x) est croissante sur [0; +;)[ et g''(0)=0 alors logiquement g''(x) est strictement positive.
Comme g''(x) est strictement positive alors g'(x) est croissante sur [0; +;)[.
Comme g'(x) est croissante sur [0; +;)[ et g'(0)=0 alors g'(x) est positive sur [0; +;)[, je peux dire que g(x) est croissante sur [0; +;)[. Comme g(0)=0 et g(x) croissante sur [0; +;)[ je conclue que g(x) est positive sur [0; +;)[.

2) Déterminer le signe de h(x) sur [0; +;)[.
Ma réponse :
C'est là que je bloque, j'ai essayé de dériver h(x) jusqu'à h'''(x), on trouve h'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]-(3/8) comme on a pas une forme factorisée je n'arrive pas à dresser son tableau de signes et suivre le même raisonnement que pour le 1).
Je demande donc votre aide pour cette question et les suivantes.

3)Conclure sur la question de départ.

4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre ;)(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.

Bonne soirée à tous,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]



Carpate
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par Carpate » 15 Nov 2012, 08:19

spartan a écrit:Bonsoir,
Je suis élève de Terminale S, je sollicite votre aide pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Voici l'énoncé :

L’objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +;)[ respectivement par f(x)=;)(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +;)[.

1)a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x;)0, g'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +;)[
Ma réponse : (je ne mets pas toutes les étapes pour ne pas surcharger le message)
f(x)=;)(x+1)
f'(x)= 1/(2;)(x+1))
f''(x)= -(1/4)*(;)(x+1)/(x+1)²)
f'''(x)= 3/[8(x+1)²(;)(x+1))]
Je démontre g'''(x) :
g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8)
g'(x)= f'(x)-(1/2)+(1/4)x
g''(x)= f''(x)+(1/4)
g'''(x)= f'''(x)
Ensuite je dresse le tableau de signe g'''(x) ou je constate que g'''(x)est strictement positive sur [0; +;)[ donc g''(x) est croissante sur [0; +;)[.
b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g'(x ) puis les variations de g' et enfin le signe
de g(x) sur [0; +;)[
Ma réponse :
g''(0)=0
g''(x) est croissante sur [0; +;)[ et g''(0)=0 alors logiquement g''(x) est strictement positive.
Comme g''(x) est strictement positive alors g'(x) est croissante sur [0; +;)[.
Comme g'(x) est croissante sur [0; +;)[ et g'(0)=0 alors g'(x) est positive sur [0; +;)[, je peux dire que g(x) est croissante sur [0; +;)[. Comme g(0)=0 et g(x) croissante sur [0; +;)[ je conclue que g(x) est positive sur [0; +;)[.

2) Déterminer le signe de h(x) sur [0; +;)[.
Ma réponse :
C'est là que je bloque, j'ai essayé de dériver h(x) jusqu'à h'''(x), on trouve h'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]-(3/8) comme on a pas une forme factorisée je n'arrive pas à dresser son tableau de signes et suivre le même raisonnement que pour le 1).
Je demande donc votre aide pour cette question et les suivantes.

3)Conclure sur la question de départ.

4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre ;)(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.

Bonne soirée à tous,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]



Tu as écrit au début de l'énoncé :
je doute que ce soit son expression correcte et que ça puisse te poser problème pour étudier son signe !
Rectifie h(x) = ...

spartan
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par spartan » 15 Nov 2012, 09:40

Autant pour moi, j'ai oublié de marquer 'g(x)', alors l'expression correcte de h(x) est h(x)=g(x)-(x^3/16), je vais éditer aussi le message précédent.

Bonne journée,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]

Carpate
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par Carpate » 15 Nov 2012, 11:55

spartan a écrit:Autant pour moi, j'ai oublié de marquer 'g(x)', alors l'expression correcte de h(x) est h(x)=g(x)-(x^3/16), je vais éditer aussi le message précédent.

Bonne journée,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]

Je n'ai pas eu le courage de calculer h'''(x) mais en partant de ton résultat :


est du signe de

, sur , décroit sur cet intervalle et
donc ainsi que sur cet intervalle

spartan
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par spartan » 15 Nov 2012, 15:30

Je te remercie pour ton aide.

2)
Voilà ce que j'ai trouvé en partant de a'(x)=-(5/2)((x+1);)(x+1)) je trouve que a'(x) est négative donc h'''(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h'''(x) est négative sur [0; +;)[ alors h''(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h''(0)=0 alors h''(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h''(x) est négative sur [0; +;)[ alors h'(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h'(0)=0 alors h'(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h'(x) est négative sur [0; +;)[ alors h(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h(0)=0 alors h(x) est négative sur [0; +;)[.
C'est très répétitif mais il y pas le choix, l'essentiel c'est que cela fonctionnent !

3)
On a :
f(x);)0
g(x);)0 ;) f(x)-1-(x/2)+(x²/8);)0 ;) f(x);)1+(x/2)-(x²/8) ;) 1+(x/2)-(x²/8);)f(x)
h(x);)0 ;) f(x)-1-(x/2)+(x²/8)-(x^3/16);)0 ;) f(x);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16)
J'en conclus que l'on a bien 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16).

4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre ;)(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.

J'arrive déjà difficilement à comprendre la question, et quand je rentre dans la calculatrice la fonction ;)(x+1) et 1+(x/2)-(x²/8) je trouve que ;)(x+1)=1+(x/2)-(x²/8) lorsque le nombre a;)[0; 9.859*10^-4] donc même quand a>2.5*10^-5 on a ;)(x+1)=1+(x/2)-(x²/8), après j'ai pas compris grand chose.
Peux-tu m'éclairer sur cette question ?

Carpate
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par Carpate » 15 Nov 2012, 16:47

spartan a écrit:Je te remercie pour ton aide.

2)
Voilà ce que j'ai trouvé en partant de a'(x)=-(5/2)((x+1);)(x+1)) je trouve que a'(x) est négative donc h'''(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h'''(x) est négative sur [0; +;)[ alors h''(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h''(0)=0 alors h''(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h''(x) est négative sur [0; +;)[ alors h'(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h'(0)=0 alors h'(x) est négative sur [0; +;)[.
Comme h'(x) est négative sur [0; +;)[ alors h(x) est décroissante sur le même intervalle et comme h(0)=0 alors h(x) est négative sur [0; +;)[.
C'est très répétitif mais il y pas le choix, l'essentiel c'est que cela fonctionnent !

3)
On a :
f(x);)0
g(x);)0 ;) f(x)-1-(x/2)+(x²/8);)0 ;) f(x);)1+(x/2)-(x²/8) ;) 1+(x/2)-(x²/8);)f(x)
h(x);)0 ;) f(x)-1-(x/2)+(x²/8)-(x^3/16);)0 ;) f(x);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16)
J'en conclus que l'on a bien 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16).

4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre ;)(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.

J'arrive déjà difficilement à comprendre la question, et quand je rentre dans la calculatrice la fonction ;)(x+1) et 1+(x/2)-(x²/8) je trouve que ;)(x+1)=1+(x/2)-(x²/8) lorsque le nombre a;)[0; 9.859*10^-4] donc même quand a>2.5*10^-5 on a ;)(x+1)=1+(x/2)-(x²/8), après j'ai pas compris grand chose.
Peux-tu m'éclairer sur cette question ?


Je ne comprends pas très bien moi-aussi ...

spartan
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par spartan » 22 Nov 2012, 09:32

Carpate a écrit:Je ne comprends pas très bien moi-aussi ...


J'étais absent alors je n'ai pas pu répondre plus tôt, merci de m'avoir aidé pour les questions précédentes.
Y a-t-il quelqu’un d'autre qui a une idée pour la dernière question ?

4)Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre ;)(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.

Bonne journée,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]

spartan
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par spartan » 26 Nov 2012, 11:19

Bonjour,

J'ai fini par comprendre, voici ce que j'obtiens (je fais un peu une discussion à moi tout seul mais on sait jamais ça peut servir à quelqu’un ) :
Comme 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16, pourquoi quand a<2.5*10^-5 on a ;)(a+1)=1+(a/2)-(a²/8) et non pas ;)(a+1)=1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16) la seul différence entre
1+(a/2)-(a²/8) et 1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16) est l'ajout de (a^3/16) donc :
a<2.5*10^-5
a^3<(2.5)^3*10^-15
(a^3/16)<(15.625/16)*10^-15
et comme 15.625<16 alors(15.625/16)< 1 donc (15.625/16)*10^-15< 1*10^-15
Je peux écrire (a^3/16)<1*10^-15 quand a<2.5*10^-5.
;)(a+1)=1+(a/2)-(a²/8) et non pas ;)(a+1)=1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16) quand a<2.5*10^-5 car la calculatrice ne tient pas compte de (a^3/16) qui dépasse les 15 chiffres significatifs derrière la virgule quand a<2.5*10^-5.
La calculatrice vérifie bien ces résultats.

Bonne semaine,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]

 

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