Bonsoir,
Je suis élève de Terminale S, je sollicite votre aide pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
Voici l'énoncé :
Lobjectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8););)(x+1);)1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +;)[ respectivement par f(x)=;)(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=g(x)-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +;)[.
1)a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x;)0, g'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +;)[
Ma réponse : (je ne mets pas toutes les étapes pour ne pas surcharger le message)
f(x)=;)(x+1)
f'(x)= 1/(2;)(x+1))
f''(x)= -(1/4)*(;)(x+1)/(x+1)²)
f'''(x)= 3/[8(x+1)²(;)(x+1))]
Je démontre g'''(x) :
g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8)
g'(x)= f'(x)-(1/2)+(1/4)x
g''(x)= f''(x)+(1/4)
g'''(x)= f'''(x)
Ensuite je dresse le tableau de signe g'''(x) ou je constate que g'''(x)est strictement positive sur [0; +;)[ donc g''(x) est croissante sur [0; +;)[.
b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g'(x ) puis les variations de g' et enfin le signe
de g(x) sur [0; +;)[
Ma réponse :
g''(0)=0
g''(x) est croissante sur [0; +;)[ et g''(0)=0 alors logiquement g''(x) est strictement positive.
Comme g''(x) est strictement positive alors g'(x) est croissante sur [0; +;)[.
Comme g'(x) est croissante sur [0; +;)[ et g'(0)=0 alors g'(x) est positive sur [0; +;)[, je peux dire que g(x) est croissante sur [0; +;)[. Comme g(0)=0 et g(x) croissante sur [0; +;)[ je conclue que g(x) est positive sur [0; +;)[.
2) Déterminer le signe de h(x) sur [0; +;)[.
Ma réponse :
C'est là que je bloque, j'ai essayé de dériver h(x) jusqu'à h'''(x), on trouve h'''(x)=3/[8(x+1)²(;)(x+1))]-(3/8) comme on a pas une forme factorisée je n'arrive pas à dresser son tableau de signes et suivre le même raisonnement que pour le 1).
Je demande donc votre aide pour cette question et les suivantes.
3)Conclure sur la question de départ.
4) Application. Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre (a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.
Bonne soirée à tous,
[RIGHT]Spartan.[/RIGHT]