Intégrale de Riemann

[Anonyme]

Bonjour

J'ai un doute sur la justesse d'un théorème donné
par mon prof. Je sais que c'est pas bien, mais ...

Théorème :
Soit I = [a, b] un intervalle (fermé borné) de R et
f : I --> R une fonction bornée. Alors f est intégrable
au sens de Riemann sur I ssi pour toute suite (D_n)
de subdivisions de I telle |D_n| --> 0, les sommes
de Darboux (s(f, D_n)) et S(f, D_n)) forment deux
suites adjacentes.

|D_n| représente le pas de la subdivision D_n.

Je montre effectivement que ces suites convergent vers
une limite commune qui est donc l'intégrale de I mais
je ne crois pas que s(f, D_n) soit nécessairement
croissante ni S(f, D_n) nécessairement décroissante.

Qu'en pensez-vous ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> Soit I = [a, b] un intervalle (fermé borné) de R et
> f : I --> R une fonction bornée. Alors f est intégrable
> au sens de Riemann sur I ssi pour toute suite (D_n)
> de subdivisions de I telle |D_n| --> 0, les sommes
> de Darboux (s(f, D_n)) et S(f, D_n)) forment deux
> suites adjacentes.
> |D_n| représente le pas de la subdivision D_n.

Il faut au moins |D_n| strictement décroissante : sinon on prend D_1
quelconque puis D_2 plus fin, puis D_3 = D_1, et D_4 = D_2 avant de
prendre des subdivisions réellement plus fine. Pour le reste, 'sais pas,
pas envie de réfléchir )

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit

> Il faut au moins |D_n| strictement décroissante :
> sinon on prend D_1 quelconque puis D_2 plus fin,
> puis D_3 = D_1, et D_4 = D_2 avant de prendre
> des subdivisions réellement plus fine. Pour le reste,
> 'sais pas, pas envie de réfléchir )

C'est vrai, je n'avais même pas pensé à cet
aspect des choses, tu as raison. C'est pas mal pour
quelqu'un qui n'a pas envie de réfléchir ;o)

Mais même avec |D_n| strictement décroissante
les sommes de Darboux ne sont pas à mon avis
nécessairement monotones.

Imagine par exemple que sur [a, c] la fonction f est
constante et que sur [c, b] c'est une sinusoïde.

Imaginons que sur [a, c] les intervalles de D_n sont
grands et qu'ils sont plus petits sur [c, b].

Alors |D_n| est imposé par les intervalles sur [a, c]
qui peuvent décroître de manière monotone, on s'en
fiche puisque f est constante à cet endroit.

Si les intervalles sur [c, b] jouent de l'accordéon
(en restant plus petits que ceux sur [a, c] ) alors les
sommes de Darboux ne seront pas monotones.

Ouf ;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> Si les intervalles sur [c, b] jouent de l'accordéon
> (en restant plus petits que ceux sur [a, c] ) alors les
> sommes de Darboux ne seront pas monotones.

Je pense que je suis d'accord. Ce qui nous amène à une question
naturelle: quelle est la définition de suites adjacentes? Faut il
vraiment une suite croissante et l'autre décroissante? Google me dit que
oui. Bien... reste à s'asseoir et pleurer.

--
Nico, optimiste.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Je pense que je suis d'accord. Ce qui nous amène à une question
> naturelle: quelle est la définition de suites adjacentes? Faut il
> vraiment une suite croissante et l'autre décroissante? Google me dit que
> oui. Bien... reste à s'asseoir et pleurer.

Faut pas dramatiser. J'en parlerai à mon prof et ça
devrait s'arranger

;o)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila wrote:

> Alors |D_n| est imposé par les intervalles sur [a, c]
> qui peuvent décroître de manière monotone, on s'en
> fiche puisque f est constante à cet endroit.
>
> Si les intervalles sur [c, b] jouent de l'accordéon
> (en restant plus petits que ceux sur [a, c] ) alors les
> sommes de Darboux ne seront pas monotones.

Euh ...
Le pas n'est-il pas constant dans les sommes de Darboux ?
Si comme je le pense c'est bien le cas, si le pas est strictement
décroissant alors les deux suites sont bien croissantes et décroissantes
(mais pas strictement, bien sur).

--
Romain Mouton
« Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
P.Desproges