DM de MATHS en terminale ES

[Sony0204]

Salut à tous. Alors voilà je suis en terminale ES, j'ai un DM de math à faire il y a trois exercices j'ai réussi à en faire un mais les deux autres je bloque.
Alors voici tout d'avord l'énoncé du premier.

Exercice 1
f est la fonction définie sur R\{3}

f(x) = ax + b + 1/3-x où a et b sont des réels.


On note C la représentation graphique de f dans un repère .

1. Déterminer a et b pour que la courbe C passe pas le point A ( 2;1 ) et admette en ce point une tangente horizontale.

2.a) Demontrer que la droite delta d'équation y= -x + 2 est asymptote a C.
b) Etudier la position relative de la courbe C par rapport a delta.

3. Etudier la limite de f en 3.

4. etudier les variations de f.

5. représentez C.

Pourriez vous vraiment m'aidez surtout pour le début, car déjà en math je n'ai pas un bon niveau et là avec ce devoir je passe tout mon temps dessus et j'aimerai qu'avec votre aide je puisse le finir rapidement.
Si pour une aide plus rapide vous voulez mon msn envoyer moi un message privé merci.

[Monsieur23]

Si le point (2;1) est sur la courbe, ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe -> une équation.
Si la tangente au point (2;1) est horizontale, que vaut son coefficient directeur ? Que peut-on en déduire sur f'(2) ? -> deuxième équation.

Et v'là, deux équations, deux inconnues, ça roule :)

[Sony0204]

aie aie aie !! :marteau: :marteau:
Je ne trouve pas tes deux équations.
La seule chose que je peux repondre c'est que le coeff directeur d'une tangente horizontale est égale a 0.

[Monsieur23]

Si le point ( x_A ; y_A ) est sur la courbe, on a

Ici, tu prends et

Ensuite, le coefficient directeur est bien 0.
Et tu sais que le nombre dérivé représente le coefficient directeur de la tangente au point considéré.

Donc tu as f '(2) = 0

Il faut donc que tu calcules f ' .

Bon courage

[Sony0204]

Merci pour tes explications !

Alors la 1ere equation est donc 1= 2a + b + 1/3-2 ... c'est ca ?

Après j'essaie de dériver f(x) : ca ferait f'(x) = a -1 je pense??

Après on remplace ca donnerait 0= a - 1 donc a = -1

[Monsieur23]

C'est bon pour la première équation.

Par contre, tu t'es trompé pour la dérivée.

Tu as f(x) = ax + b + 1/(3-x)

Donc f'(x) = a + 1/(3-x)²

[Sony0204]

ah oui mince !
donc f'(x) = a + 1/(3-x)^2
donc 0 = a + 1/(3-2)^2
d'ou 0 = a + 1

donc a = -1 !

et pour b : 1 = 2a + b +1
donc 1 = -2 + b + 1
d'ou -b = -2

donc b = 2

est-ce bien ca ??

[Monsieur23]

Ça m'a l'air d'être juste. :we:

Pour la question suivante, comment montres-tu qu'une droite est asymptote à une courbe ? Ça doit être dans ton cours.

[Sony0204]

eh bien je pense que la limite d'une fonction permet de déterminer et d’identifier les différentes asymptotes

[Monsieur23]

En fait, si tu as une fonction f et une droite d'équation mx+p, la droite est asymptote à la courbe ( en ) si et seulement si

Ici, tu dois donc trouver la limite de f(x) + x - 2

[Sony0204]

je ne mets pas de la mauvaise volonté mais la je suis perdu... :triste:

[Monsieur23]

Qu'est ce que tu ne comprends pas ?

La droite est asymptote à la courbe si la courbe se rapproche de plus en plus de la droite, donc que la distance entre la droite et la courbe se rapproche indéfiniment de 0.
Donc la différence entre les 2 équations tend vers 0.

[Sony0204]

hum, donc f(x) - l'équation de la droite delta doit etre égal a 0 ??

[Monsieur23]

Non, ça doit tendre vers 0 quand x tend vers l'infini.

[Sony0204]

d'accord mais concretement ca donne quoi ??

[Monsieur23]

f(x) - (-x+2) = 1/(3-x)

Que vaut la limite de 1/(3-x) quand x tend vers l'infini ?

[Sony0204]

ca vaut 0 ... ? Donc ca prouve qu'elle est asymptote.

[Monsieur23]

C'est ça !
Donc la droite est asymptote à la courbe.

Pour avoir la position relative, tu dois chercher le signe de f(x) - (-x+2).
Si c'est positif, la courbe de f est au dessus de la droite, si c'est négatif, la droite est au dessus de la courbe.

[Sony0204]

Merci beaucoup pour ton aide !! :we:

Mais je dois t'embeter a la longue... comment fait-on pour chercher le signe de f(x) - (-x+2) ?

( j'ai de grosses lacunes en maths )

[Monsieur23]

f(x) - (-x+2) = 1/(3-x)

Donc f(x) - (-x+2) est du même signe que (3-x)

Tu dois donc trouver le signe de 3-x selon les valeurs de x.

Et puis non, tu ne m'embêtes pas ! :happy2: