Probleme d'Algèbre intouchable.

[mounem]

Bonjour,

J'ai un petit soucis sur un probleme d'Algèbre.
Enoncé:
Soit E un R-ev. on note Id l'applicat° identité de E et o l'applicat° nulle. Si f est endomorphisme de E on note f°=Id et f^n=f o f^n-1 pout tout entier n>1. Soit a et b 2 R/{0}. On désigne par P l'applicat° de L(E) ds L(E) défnie par P(f)= f² + af + b Id pour tout endomorphisme f de E.
1) P est-elle une application linéaire?

2) Montrer que si le trinome x²+ax+b admet une racine réelle, alors il existe au moins un endo f de E tel que P(f)=0.

3) soit f elts de E tel que P(f)=0.
a) Montrer que si b différent de 0, f est bijective et déterminer son inverse en fction de f.
b) peut on avoir f bijective et b=0.

SVP aidez moi j'en peu plus c un véritable casse tête.

[trust]

1° P n'est pas linéaire... j'ai touché à l'intouchable :ptdr:

[Argentoratum]

As-tu vu en cours comment montrer q'une application est linéaire.
Si oui dis moi ce que tu ne comprend pas, tu verras ce n'est pas compliqué.

[mounem]

Non sérieusement .

[Argentoratum]

Comment ça sérieusement? T'attend une réponse toute faite?
Bon je t'écoute, qu'est ce que tu ne comprends pas?

[mounem]

En cours pour montrer qu'une application f de E dans F est linéaire <=>
pour tout x, y appartenant à E et tout a appartenant a R
f(a.x+y)=af(x)+f(y). Mais j'ai essayé et je n'ai pas trouvé .
en faisant P(f1 + a.f2) je ne trouve pas P(f1) + a P(f2).

[bruce.ml]

Salut,

ce que tu mets est exact, néanmoins pour prouver qu'une application n'est pas linéaire ce n'est pas très pratique. Une première chose à regarder est si P(0) = 0, si c'est le cas il reste à farfouiner deux fonctions f et g telles que P(f+g) ne soit pas égal à P(f) + P(g).

[BQss]

Salut,

Je dirais meme plus, si l'on trouve que p(af) est different de a.p(f) ce n'est pas lineaire, ce qui est immediat vu que pour le premier terme on obtient af(af)=a^2.f, car f est une application lineaire.
aP(f) est donc different de P(af).

[klevia]

Salut à tous,
pour la 2, soit la racine réelle de x²+ax+b. Alors considérons f l'homothétie de rapport
pour tout x,
P(f)(x) = f²(x)+af(x)+b.x= x +a x + bx
=( + a +b ) x = 0.x = 0

d'ou p(f) est l'application nulle

[klevia]

Pour la 3a), il suffit de trouver g tel que f.g = Id, ce qui doit être facilement faisable en faisant passer b Id du côté du 0 et en divisant par b ...

[mounem]

pour la question 3b)
je dirais que P(f)=f²+af= f (1+af)=0 <=> f=0 ou f=1/ (-a) et après comment conclure sur la bijection.

[bruce.ml]

pour la question 3b)
je dirais que P(f)=f²+af= f (1+af)=0 f=0 ou f=1/ (-a) et après comment conclure sur la bijection.

avant d'écrire quelque chose, demande toi à quel ensemble appartient l'élément, quel est cet ensemble (groupe, anneau, espace vectoriel ...) et par conséquent qu'aie-je le droit de faire avec mon élément ?
Si tu suis ces conseils, tu devrais pouvoir t'en sortir en algèbre pendant toute la prépa.

Ici, tu as écrit n'importe quoi, écris des choses qui ont du sens, et tu trouveras la solution.

[mounem]

f est un endomorphisme de E dans E et d'après la réponse précedente il s'agit d'une homothetie de rapport a.
Mais comment répondre à cette question:
P(f)=f²+af =0
f²=- af et après?

[mounem]

je pense avoir trouver.

sachant que P(f)= f²+ af+bId
3a) f o (f+ (a/b) Id )=Id d'ou f^-1 = f+(a/b)Id
3b) ainsi f ne peut être bijective si b=0

[kazeriahm]

salut

pour la 1) P(f) est clairement linéaire (f^2 c'est pas f*f qui n'a pas de sens mais bien f ° f, la composée de f par f, qui est encore linéaire) comme somme d'applis linéaires (L(E) est un ev)

[kazeriahm]

Si b=0 tu as f°(f+a*Id)=0

si f est inversible, tu as donc f+a*Id = 0 soit f=-a*Id

réciproquement si f=-a*Id f est bien inversible

donc si b=0, f inversible équivaut à f=-a*Id

[BQss]

salut

pour la 1) P(f) est clairement linéaire (f^2 c'est pas f*f qui n'a pas de sens mais bien f ° f, la composée de f par f, qui est encore linéaire) comme somme d'applis linéaires (L(E) est un ev)

oula, autant se gourrer en etant aussi peremptoire c'est du joli !
ici fof=f*f vu que f est une application lineaire elle meme(meme si on a meme pas besoin de le voir comme ca pour repondre), d'ailleurs tu aurais pu voir que tout le monde l'avait signalé, ca t'aurait évité de raconter n'importe quoi . Par ailleurs ta justification est fausse, sans compter que f*f a bien un sens qui est certes en effet different de fof en general, sauf que ici c'est vrai pas de chance :zen: . Je crois que tu t'es melangé les pinceaux entre f qui est une appli lineaire et l'appli P défini sur L(E) qui elle ne l'est pas.

c'est donc CLAIREMENT non lineaire vu que afo(af)=a^2fo(f) qui est different de afof ( ce qui implique que aP(f) differe de P(af) ), meme pas besoin d'ecrire f^2(f^2 est d'ailleurs une notation pour fof donnée dans l'énoncée et qui se comprend tres bien dans le cas ou f est une appli lineaire...), juste de remarquer que l'on peut ressortir le a du fait de la linearité de f...
a plus et bonne année .

PS: la prochainefois fois lis les autres. Et jette un coup d'oeil a l'application d'un peu plus pres elle est defini sur les endomorphisme de E...

[BQss]

Moralité:

Une application d'application lineaire n'est en general pas lineaire.

ne pas confondre:
R-->R
x-->A(A(x)) lineaire


avec
L(E)-->L(E)
A-->A(A)

pas lineaire et meme quadratique en dimension 1 par exemple.

[kazeriahm]

oula, autant se gourrer en etant aussi peremptoire c'est du joli !
ici fof=f*f vu que f est une application lineaire elle meme(meme si on a meme pas besoin de le voir comme ca pour repondre), d'ailleurs tu aurais pu voir que tout le monde l'avait signalé, ca t'aurait évité de raconter n'importe quoi . Par ailleurs ta justification est fausse, sans compter que f*f a bien un sens qui est certes en effet different de fof en general, sauf que ici c'est vrai pas de chance :zen: . Je crois que tu t'es melangé les pinceaux entre f qui est une appli lineaire et l'appli P défini sur L(E) qui elle ne l'est pas.

c'est donc CLAIREMENT non lineaire vu que afo(af)=a^2fo(f) qui est different de afof ( ce qui implique que aP(f) differe de P(af) ), meme pas besoin d'ecrire f^2(f^2 est d'ailleurs une notation pour fof donnée dans l'énoncée et qui se comprend tres bien dans le cas ou f est une appli lineaire...), juste de remarquer que l'on peut ressortir le a du fait de la linearité de f...
a plus et bonne année .

PS: la prochainefois fois lis les autres. Et jette un coup d'oeil a l'application d'un peu plus pres elle est defini sur les endomorphisme de E...

oups autant pour moi, et désolé pour le pseudo ton peremptoire si tu l'as mal pris

j'ai mal lu la question

parcontre pas la peine d'écrire 50 lignes de morale pour me le dire nous sommes entre gentlemen :we:

[BQss]

Pas de probleme, c'est juste que tu rappliques, tu lis personne contredis tous le monde et repond apres que d'autres aient deja repondu.
C'est un petit peu mal élevé et quand c'est faux, c'est en plus agacant.

Ensuite moi je t'en veux pas du tout, en tant que gentleman ;).

:++: