Suite récurrente d'un ensemble fini

[BiZi]

Bonjour,

J'ai un gros doute: si on prend A un ensemble fini, une suite f-récurrente avec f une fonction de A dans A, est-elle nécessairement périodique à partir d'un certain rang? périodique?

Merci de me répondre!

[bruce.ml]

Salut,

d'après le lemme des tirroirs, . Peux-tu terminer seul ?

[BiZi]

Salut,

d'après le lemme des tirroirs, . Peux-tu terminer seul ?

Bin c'e'st ce que je me disais: mais comme j'ai un exo où je dois montrer qu'une suite de est périodique... Je pense que pour la périodicité il faut rajouter des conditions, non?

[bruce.ml]

Je ne vois pas ce qui manque, mais j'ai écrit une bêtise, la suite n'est évidemment pas forcément périodique, mais périodique à partir d'un certain rang, à partir du rang où on retombe sur une valeur déjà obtenue.

[raito123]

c'est vrai que toute suite ecrite sous forme de
alors est periodique???

[ThSQ]

c'est vrai que toute suite ecrite sous forme de
alors est periodique???

Si elle est à valeurs dans un ensemble fini bien sûr. Sinon pas forcément.

[bruce.ml]

même toute suite définie par ! Toute suite recurrente d'un ensemble fini est presque périodique

[BiZi]

Si elle est à valeurs dans un ensemble fini bien sûr. Sinon pas forcément.

En fait ma question c'était surtout de savoir si une telle suite est périodique ou seulement périodique à partir d'un certain rang;avec f injective en tout cas on a la périodicité, non?

[bruce.ml]

En fait ma question c'était surtout de savoir si une telle suite est périodique ou seulement périodique à partir d'un certain rang;avec f injective en tout cas on a la périodicité, non?

si f est injective alors elle est surjective et bijective, c'est donc une permutation, la suite sera donc periodique de période la taille du cycle auquel 0 appartient.

Sinon en effet la suite n'est pas forcément périodique. Dans Z/2Z, tu prends la fonction f = 1, et u0 = 0, la suite vaut 0,1,1,1, ... et n'est pas périodique.