Ensemble fini et cardinal

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je ne comprends absolument rien à cet exercice ni à la correction de mon livre qui est du chinois.

Soit un ensemble fini de cardinal et une bijection de sur . Si est un élément de , construire une bijection de sur telle que . En déduire que est fini et de cardinal .

[GaBuZoMeu]

mon livre qui est du chinois.

Garde-toi de ce genre de jugement, et demande-toi si tu n'es pas le premier responsable de ton incompréhension. Au vu de ce que tu nous as montré jusqu'à présent ...
Si la bijection qui t'est donnée envoie sur , il n'y a rien à faire.
Si elle envoie sur , que faire pour la modifier afin d'obtenir le résultat voulu (que l'image de soit ) ? Peut-être échanger et , non ?
Essaie de visualiser la situation sans te noyer dans le formalisme. Une fois la situation (simple !) bien comprise, la formalisation vient aisément.

[aviateur]

Bonjour
On est tombé sur la tête ici ou quoi?
On a un ensemble E contenant n éléments (n plus grand ou égal à 1). On lui retire l'élément a. Montrer qu'il reste n-1 éléments.
C'est un exercice d'école maternelle version moderne:
Un enfant a 4 bonbons mais il en mange 1. Combien en reste-t-il?
Indication: Utiliser une bijection.

N'y a -t-il pas des exercices sur la cardinalité plus intéressant?

[capitaine nuggets]

Salut !

Je ne comprends absolument rien à cet exercice ni à la correction de mon livre qui est du chinois.

Je croyais que ton livre était "très bien fait" et maintenant c'est du chinois ?

N'y a -t-il pas des exercices sur la cardinalité plus intéressant?

Apparement il veut des réponses à ces questions : la plupart de ses discussions postées ici sur le forum le sont aussi sur ilemaths. Du coup, est-ce que c'est vraiment la peine de lui répondre ? D'autres lui donneront exactement les même réponses, je passe la main sur ce coup là.

[noobey]

Jpense quau lieu de faire des maths il devrait travailler dans le recopiage de bouquins vu que cest son activité favorie

[mehdi-128]

Salut !

Je ne comprends absolument rien à cet exercice ni à la correction de mon livre qui est du chinois.

Je croyais que ton livre était "très bien fait" et maintenant c'est du chinois ?

N'y a -t-il pas des exercices sur la cardinalité plus intéressant?

Apparement il veut des réponses à ces questions : la plupart de ses discussions postées ici sur le forum le sont aussi sur ilemaths. Du coup, est-ce que c'est vraiment la peine de lui répondre ? D'autres lui donneront exactement les même réponses, je passe la main sur ce coup là.

Je n'ai pas posté cet exercice sur l’île des maths. Je vais vous mettre la correction de mon livre et vous allez comprendre pourquoi je dis ça.

[capitaine nuggets]

Oui sans vouloir être désagréable, comment veux-tu te concentrer et prendre le temps de chercher un exo comme il faudrait alors que tu en postes trois ou quatre par jours ? Chercher un exo demande du temps et de la réflexion, ça ne se fait pas toujours en cinq minutes. Je me demande d'ailleurs si tu arrives à retenir quelque chose de tous les exos que tu postes tous les jours. Surtout si tu as d'autres occupations dans la vie en dehors des maths, pire si tu travailles. Parce que ce n'est pas évident.

Ensuite, la correction m'importe peu. Dans ce type de livre, elle est plus censé fournir des éléments de réponse qu'un corrigé détaillé (n'espère pas qu'un livre de ce volume puisse corriger complètement tous les exos, il est déjà assez gros comme ça). Perso, je préfère privilégier les livres thématiques plutôt que les livres tout-en-un. Soit ils ont peu/pas d'exos, soit ils font de courtes démonstrations. Enfin, je trouve en général les livres thématiques plus complet et mieux écrit que les livres "tout-en-un" souvent purement scolaire.

[mehdi-128]

@GaBuZoMeu

Merci j'ai compris en utilisant un exemple simple : sur .

La correction du livre est assez technique ça m'a fait peur, mais vous avez raison, il vaut mieux raisonner sans formalisme pour commencer !

Si , on a . Ainsi et

Supposons .

Si , alors étant bijective,

Par suite, l'application est surjective. Elle est aussi injective comme restriction d'une injection.
Ainsi est bijective et

Si considérons l'application définie par :

, et

C'est une permutation involutive de puisque . Par suite est une bijection de sur , composée de 2 bijections vérifiant .
D'après le premier cas, on en déduit que :

[mehdi-128]

C'est un exercice intégré dans le cours donc la démonstration est détaillée. Mais je la trouve trop formelle.

Les livres "scolaires" sont plus adaptés à mon niveau et mon objectif. Je voulais un livre avec tout le cours de 1ère année et toutes les démonstrations détaillées, c'est le seul que j'ai trouvé.

Je suis en vacances, je suis professeur contractuel, donc j'ai un peu plus de temps. Mais cette année j'ai essayé de travailler les maths en parallèle de mon travail ce qui n'est pas évident. J'ai pu travailler 7 chapitres :
Droite numérique, fonctions à valeurs réelles.
Calculs algébriques.
Nombres complexes.
Fonctions usuelles.
Primitives et équations différentielles linéaires.
Raisonnements, opérations sur les ensembles.

Et le je suis à la fin du chapitre assez difficile : applications, relations, entiers naturels.

[aviateur]

Je suis en vacances, je suis professeur contractuel, donc j'ai un peu plus de temps..

Tu enseignes quelle matière?

[aviateur]

@GaBuZoMeu

Merci j'ai compris en utilisant un exemple simple : sur .

La correction du livre est assez technique ça m'a fait peur, mais vous avez raison, il vaut mieux raisonner sans formalisme pour commencer !

Si , on a . Ainsi et

Supposons .

Si , alors étant bijective,

Par suite, l'application est surjective. Elle est aussi injective comme restriction d'une injection.
Ainsi est bijective et

Si considérons l'application définie par :

, et

C'est une permutation involutive de puisque . Par suite est une bijection de sur , composée de 2 bijections vérifiant .
D'après le premier cas, on en déduit que :

Tout ça pour montrer que si E est de cardinal fini et si alors


Utiliser la notion de bijection, surjection, de permutation involutive,
Fallait y penser!
Mais je ne sais pas si ça va motiver à faire des études de math dans le supérieur.

[mehdi-128]

Après réflexion, c'est pas si compliqué. Il suffit de permuter 2 éléments, la fonction tau est simple quand on a compris le principe.