Petite règle et petit compas

[bruce.ml]

Bien sûr que si on le sait, comme je le disais dans mon précedent post, on se met sur B, et on va vers A sans couper de droite. Quand on arrive en A on est dans la même section d'angle que B.

[Imod]

Pourrais-tu détailler ta stratégie sur la figure ci-dessous ?



Imod

[bruce.ml]

Premièrement je reviens sur une consession que j'avais faite : on SAIT dans quelle section est B, on voit B, et on voit les droites qu'on a tracé, sinon comment peut on espérer joindre deux points qu'on ne voit pas. Au pire on met des gros drapeaux dessus. Dans les rêgles de construction à la rêgle et au compas, on sais où sont les points.

Sinon dans ce cas particulier, B est dans la grosse section d'angle, je trace donc la bissectrice qui part de A et qui va "en bas à droite". B est à présent dans la section de droite, je trace donc la bissectrice qui va vers "en haut à droite". La troisième étape devrait arriver près de B.

[alben]

J'ai du mal à comprendre les conditions.
Si à partir d'une droite, on ne peut déterminer de quel coté se situe B, je ne vois pas comment on peut y arriver.
On peut toujours tracer deux droites à partir de A faisant un angle droit (ce qui fait 4 demi-droites) sur 150m environ de chaque coté. N'importe quelle droite issue de B rencontrera l'une de ces demi droites, ce qui permet de positionner B ?

[Imod]

J'ai du mal à comprendre les conditions . Si à partir d'une droite, on ne peut déterminer de quel coté se situe B, je ne vois pas comment on peut y arriver.

En fait on peut très bien y arriver mais on peut quand même dire que l'on sait de quel côté d'une droite se situe le point B . La question n'a jamais été posée aussi clairement et il est difficile de répondre "oui" à un message qui contient une vérité parmi de nombreuses contre-vérités . J'ajouterai qu'un message de raito123 trop vite oublié ne manque pas de pertinence .

Imod

[bruce.ml]

Non mais c'est pas grave tu sais lmod si j'ai trouvé un autre moyen que le tien pour résoudre ce problème.

La question n'a jamais été posée aussi clairement

Citation:
Posté par bruce.ml
3) on regarde dans quelle section d'angle est le point B

On n'en sait tout simplement rien

Imod

???????????????????????????????????????????????????
1+1 = 2. Youpie si un point est dans une section d'angle alors il est d'un certain coté des deux droites qui composent cet angle ! Ca sent la médaille Fields ça ...

[Imod]

Une petite mise au point sans animosité :we:

Non mais c'est pas grave tu sais lmod si j'ai trouvé un autre moyen que le tien pour résoudre ce problème.

Une autre solution que la mienne serait un vrai plaisir j'ai depuis longtemps passé l'âge de telles mesquineries !

Youpie si un point est dans une section d'angle alors il est d'un certain coté des deux droites qui composent cet angle ! Ca sent la médaille Fields ça ...

Il semblait d'après tes explications que tu enfermais d'emblée le point B dans un angle de sommet A en "visant B" ce qui n'est pas tout à fait la même chose que de dire "B est de tel côté d'une droite" , d'où le schéma proposé et les explications demandées . Bon disons que nous sommes d'accord : on peut tracer une droite (D) passant par A telle que d(B,(D))<d .

Plaçons un point C sur cette droite, à distance moins de d de B, et plus proche de A que B ne l'est ; et un point D toujours sur la droite à distance moins de d de C. O, sait construire le parlallélogramme CDBE, et la demi droite [BE). Par suite on sait construire le parallélogramme ACBF. On a que le milieu de [AB] est le milieu du milieu de [AC] et du milieu de [FB]. Si on a le milieu de [AB], nous avons un procédé recursif pour construire notre segment à base de milieux successifs.

Jusqu'ici pas de problème .

Et pour obtenir ce dernier, il suffit d'avoir les milieux de deux segments : [AC] et [FB] qui sont de longueur plus petite que celle de [AB]. En procédant récursivement, et grace à cet algorithme en complexité doublement exponentielle, on arrivera à tracer le segment [AB] !

Je ne vois pas comment fonctionne la récursivité les milieux de [AC] et [BF] ne semblant pas constructibles à priori . En attendant ta réponse , tu me permettras de suspendre momentanément l'attribution de la médaille Fields :we:

Imod

[bruce.ml]

Nous y voilà ! c'est quand même mieux quand tu me dis où tu penses que ça ne va pas :++: La récursivité fonctionne car AC = BF < AB

Mon premier objectif était de construire le milieu de [AB], j'ai ramené le problème à la construction du milieu d'un segment plus petit. Au bout d'un moment le segement sera assez petit pour qu'on puisse le tracer et construire son milieu grace à une médiatrice par exemple :)

[Imod]

La récursivité fonctionne car AC = BF < AB . Mon premier objectif était de construire le milieu de [AB], j'ai ramené le problème à la construction du milieu d'un segment plus petit. Au bout d'un moment le segement sera assez petit pour qu'on puisse le tracer et construire son milieu grace à une médiatrice par exemple

Désolé , je suis bouché ( je ne fais pas de l'obstruction ) . Au départ tu vises le point B que vises-tu après :mur: :mur: :mur:

Imod

[bruce.ml]

Bon je recommence l'algorithme avec tous les points, cet algorithme cherche à tracer le milieu de deux points.
d est la distance dans laquelle on peut travailler avec la rêgle et le compas de façon normale ( mettons 30 cm )

0) Soient A et B les deux points à relier. si d(A,B) < d, tracer le segment [A,B], puis son milieu grace à sa médiatrice, et terminer.

1) Tracer deux droites passant par A et le cercle de centre B et de rayon d/2.

2) Si une droite passe par deux points distincs de , nomons les C et D, C étant le plus proche de A, et aller en 4)

3) Tracer la bissectrice interieure de l'angle contenant le point B, aller en 2)

4) Le point E est tel que CDBE est un parallélogramme, tracer la droite [BE). Elle coupe le cercle de centre A et de rayon d en deux points, F et G, F étant le plus proche de B.

5) Construire récursivement les milieux H et I de [AC] et [FB]

6) tracer le segement [HI] et construire son milieu grace à une mediatrice : c'est le milieu de [AB] et terminer.

( Si on peut prouver que FC < AB, on peut simplement appeller recursivement le milieu de [FC] à la place des étapes 5 et 6 )

Après ça on construit récursivement tous les milieux des milieux des milieux ... jusqu'à arriver à des longueurs traçables avec notre rêgle

[Imod]

5) Construire récursivement les milieux H et I de [AC] et [FB]

Inutile de noyer le poisson , le problème est là ( je garde toujours la médaille sous le coude :we: )

Imod

[bruce.ml]

Inutile de noyer le poisson , le problème est là ( je garde toujours la médaille sous le coude :we: )

Imod

Au temps pour moi ! il faut ajouter une petite condition supplémentaire : à l'étape deux, si alors reprendre à l'étape 3). où epsilon est une valeur fixée dès le départ comprise entre 0 et d/2. De cette manière, la distance entre les points dont on souhaite tracer le milieu diminue au moins d'un certain fixé à chaque étape, on finira donc par arriver au traçage du milieu de deux points distants de moins de d, et donc l'algorithme termine.

PS : le premier algorithme était probabiliste et terminait avec une probabilité de 1 :p.

[Patastronch]

Je croyais que la regle etait non graduée moi.

[bruce.ml]

Je regarde avec le compas ! je trace une longueur étalon au départ, et ensuite je vérifie grace au compas :)

[Patastronch]

Je regarde avec le compas ! je trace une longueur étalon au départ, et ensuite je vérifie grace au compas

Et pour e cercle de rayon d/2 ? bon tu me diras que le d/2 précis c'est pas important, faut juste etre inférieur a d/2 pour le rayon du cercle de départ si j'ai bien comrpis.

[bruce.ml]

d/2 est facilement constructible avec une simple médiatrice de toute façon

[alben]

Bravo Bruce tu m'as convaincu.
Mais ça fait beaucoup d'étapes. On doit pouvoir en éliminer quelques unes et par là améliorer la précision.

[Patastronch]

d/2 est facilement constructible avec une simple médiatrice de toute façon

Ben je vois pas comment tu mesure d. Si tu me dit qu'il faut prendre les extrémités de ta regles je te previens tout de suite que je me gausse ! On sait tous que les bords d'une regle sont arrondies (ou usés rapidement si ils étaient pas arrondies) ! Mais de toute facon n'importe quelle longueur témoin inférieur à d fait l'affaire.

[bruce.ml]

Ben je vois pas comment tu mesure d. Si tu me dit qu'il faut prendre les extrémités de ta regles je te previens tout de suite que je me gausse ! On sait tous que les bords d'une regle sont arrondies (ou usés rapidement si ils étaient pas arrondies) ! Mais de toute facon n'importe quelle longueur témoin inférieur à d fait l'affaire.

voilà n'importe quel d > 0 convient du moment qu'il est plus petit que la rêgle.

[Imod]

En effet la construction aboutit un peu laborieusement mais sûrement . La précision risque de ne pas être au rendez-vous mais l'exercice est plus théorique que pratique !
Une autre façon de faire qui me semble plus simple . On quadrille une partie finie du plan contenant A et B avec des carrés suffisamment petits pour permettre de mesurer l'écart entre deux points ( au compas ) ou pour relier deux points ( à la règle ) , dans deux carrés voisins et de façon à ce que A soit un noeud du quadrillage . On place alors un point dans chaque carré ne contenant pas B et par ces points on trace une ligne brisée reliant A à B . La trajectoire complète est contenue dans un carré nXn , on la reproduit à l'echelle 1/n dans le premier carré partant de A et en reliant A au dernier point de la trajectoire réduite , on obtient ( théoriquement ) la direction de B .

Imod

PS : bruce.ml , pour la médaille Fields , je verrai ce que je peux faire mais je ne peux rien te certifier :we: