Démontrer que z est solution

[nath59320]

bonjour à tous,j'ai un exercice a faire mais bloque à la prmeiere question,pouvez vous m'aider svp...

on considère l'équation (E) z²=-9-40i
on pose z=a+ib avec a et b des réels
demontrer que z est solution de (E) si et seulement si le couple(a;b) est solution du systeme


a² - b² = -9
(S) a² + b² = 41
ab = -20

indication: a²+b²=41 on considérera valeur absolu de z²

je n'y comprend rien ,merci de votre aide

[nath59320]

de l'aide svp

[nath59320]

?????????????

[sue]

bonjour ,

tu a : z²=(a+ib)²=-9-40i , tu dévellope (a+ib)² et tu identifie, sachant que deux nb complexes z et z' sont égaux ssi Re(z)=Re(z') et Im(z)=Im(z')
et puis tu as l'indication .

[nath59320]

tout d'abord merci pour ta reponse...
mais je n'ai pas trés bien compris le principe en faite...pourrais tu m'expliquer stp

[sue]

ça donne quoi le dévellopement de (a+ib)² ?

[nath59320]

cela donne a²+2aib+ib²

[sue]

c plutot a²+2abi +(ib)²= a²-b²+2abi
mnt tu as l'égalité a²-b²+2abi = -9-40i (2 complexes égaux )
t'en conclut quoi ?

[nath59320]

ben on en conclut que z²=a²+b²= -9-41i

[nath59320]

non aprés reflexion,je ne pense que ce soit ca,je ne sais pas dutout,je comprend pas trés bien quel est notre but

[sue]

je vois pas d'ou tu sors celà !
je répéte deux complexes sont égaux : A+iB=A'+iB' ssi A=A' et B=B'

tu isoles la partie imaginaire et la partie réelle de a²-b²+2abi puis tu identifies tenant compte de l'égalité précédente .

Ok ?

[nath59320]

je pose bcp de question, lol mais identifier à quoi?

[sue]

dsl je dois partir ..

je réexplique..

le but de ton exo est de trouver les racines carrées du complexe Z=-9-40i
pour celà on pose z²=-9-40i
en générale la forme algébrique d'un complexe est z=a+ib
si z est solution de z²=-9-40i alors on a l'égalité (a+ib)²=-9-40i (E), donc déterminer z revient à déterminer a et b .
(a²-b²) + i(2ab) = (-9)+i(-40)
on a donc égalité entre 2 complexes ie leurs parties imaginaires et réelles sont resp. égales : a²-b² = -9 et 2ab= -40

[nath59320]

et cela nous prouve que z est solution???

[sue]

tu parle de l'inclusion réciproque ? celle ci est évidente , si (a,b) est solution du système donné on a bien (a²-b²+2abi) =-9-40i donc z est solution .
mnt pour l'inclusion directe : on montre que si z=a+ib est solution alors le couple (a,b) est solution du système donné .

mais sinon on peut partir tt simplement par équivalence y a pas de probs .

[nath59320]

je vous remercie pour votre aide....ensuite il fallait resoudre le systeme,j'ai reussi ca c'était assez simple lol,

merci encore