Fonctions en escalier

[Anonyme]

Bonjour

Théorème :

Soit I = [a, b]. Si une fonction f : I ---> R est en
escalier, elle s'écrit :
f = Somme { z * X_f^(-1)(z)} z dans f(I)

(je vous conseille de l'écrire sur une feuille).

Cette relation n'est donc pas vrais si f n'est pas en
escalier ?

Merci pour vos lumières éblouissantes


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Ah oui il faut quand même préciser que X_f^(-1)(z)

est la fonction caractéristique de l'intervalle f^(-1)(z)
formé de l'ensemble des x dans I tels que f(x) = z

C'est affreux ...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:49788), a écrit :
> Cette relation n'est donc pas vrais si f n'est pas en
> escalier ?

Je suppose que lorsque l'on a une fonction en escalier, on a affaire
à une somme finie, ce qui est plus sympa... Enfin, voilà quoi.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit

> Je suppose que lorsque l'on a une fonction en escalier,
> on a affaire à une somme finie, ce qui est plus sympa...
> Enfin, voilà quoi.

Je suis d'accord. Donc une meilleure formulation de la
proposition serait :

Soit I = [a, b]. Toute fonction f : I ---> R s'écrit :
f = Somme { z * X_f^(-1)(z)} z dans f(I)
Si f est en escalier sur I la somme est finie.

?


--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:49791), a écrit :
> Soit I = [a, b]. Toute fonction f : I ---> R s'écrit :
> f = Somme { z * X_f^(-1)(z)} z dans f(I)
> Si f est en escalier sur I la somme est finie.

Ouais, d'un autre côté, donner un sens à une somme infinie, c'est
jamais facile. Il faut en général une topologie et justifier que
le truc converge pour la topologie en question et que ça ne dépend
pas de l'ordre, etc... ou que ça en dépend en fait, et dans ce cas
préciser ce que l'on entend.

Bref.

--
Xavier, que ça m'amuse toujours quand les profs « le groupe engendré
pas S est l'ensemble des produits *finis* d'éléments de S ou dont les
inverses sont dans S », et qu'ils insistent donc sur ce mot « finis »
sans souvent jamais dire qu'un produit infini dans un groupe quelcon-
que, ça n'a aucun sens ! C'est pas ça, le point important ?

[Anonyme]

Pierre Capdevila a écrit :
> Soit I = [a, b]. Si une fonction f : I ---> R est en
> escalier, elle s'écrit :
> f = Somme { z * X_f^(-1)(z)} z dans f(I)

Autant dire que ce résultat est vrai tous le temps (étant donné qu'il
n'y a qu'un seul terme non nul dans la somme, et ce pour tout x, on a
une définition raisonnable de la somme, même si f(I) n'est
éventuellement pas dénombrable). Si la fonction est simple, alors f(I)
est fini (par définition), et une fonction en escalier est simple. Mais
l'intérêt du truc apparait surtout pour les fonctions simples, n'est il
pas?

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit
> Autant dire que ce résultat est vrai tous le temps (étant donné qu'il
> n'y a qu'un seul terme non nul dans la somme, et ce pour tout x, on a
> une définition raisonnable de la somme, même si f(I) n'est
> éventuellement pas dénombrable).

Bravo, bien vu.


> Si la fonction est simple, alors f(I)
> est fini (par définition), et une fonction en escalier est simple. Mais
> l'intérêt du truc apparait surtout pour les fonctions simples, n'est il
> pas?

Je suppose ;o)

Merci

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

et qu'ils insistent donc sur ce mot « finis »
> sans souvent jamais dire qu'un produit infini dans un groupe quelcon-
> que, ça n'a aucun sens ! C'est pas ça, le point important ?

Tout à fait d'accord!
J'avais mis longtemps en sup à comprendre que les indicatrices des
singletons n'étaient pas une base de l'espace des fonctions de R dans R...
:-/

--
Maxi

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
> Xavier, que ça m'amuse toujours quand les profs « le groupe engendré
> pas S est l'ensemble des produits *finis* d'éléments de S ou dont les
> inverses sont dans S », et qu'ils insistent donc sur ce mot « finis »
> sans souvent jamais dire qu'un produit infini dans un groupe quelcon-
> que, ça n'a aucun sens ! C'est pas ça, le point important ?

Pourtant les produits infinis ça existe
(dans le groupe multiplicatif des réels positifs)

non ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:49833), a écrit :
> Pourtant les produits infinis ça existe
> (dans le groupe multiplicatif des réels positifs)
>
> non ?

Bah, ça dépend ce que tu entends par là... Ça existe parce qu'il y a
une topologie sur R. La structure de groupe ne suffit absolument pas
à définir un tel produit.

[Anonyme]

In article ,
"Maxi" wrote:

> et qu'ils insistent donc sur ce mot « finis »[color=green]
> > sans souvent jamais dire qu'un produit infini dans un groupe quelcon-
> > que, ça n'a aucun sens ! C'est pas ça, le point important ?
>
> Tout à fait d'accord!
> J'avais mis longtemps en sup à comprendre que les indicatrices des
> singletons n'étaient pas une base de l'espace des fonctions de R dans R...
> :-/[/color]

Cette incompréhension me semble justifier totalement l'insistance des
profs sur le fait qu'on considère des produits _finis_ : les cas où une
structure supplémentaire ou la topologie permettent de définir des
produits infinis sont nombreux. Les profs préviennent simplement la
réponse suivante : "et que fait-on quand ça a un sens ?".

En effet, dans ce cas, il me paraît plus utile de dire que ce n'est pas
ce qui nous intéresse que de dire que ça n'a pas de sens, car le sens à
donner à de tels produits infinis est souvent intuitif pour tout le
monde.

Camille
--
Le Tournoi des Villes a lieu le 9 novembre

infos@tournoidesvilles.fr
http://www.tournoidesvilles.fr

[Anonyme]

Camille , dans le message (fr.education.entraide.maths:49843), a écrit :
> En effet, dans ce cas, il me paraît plus utile de dire que ce n'est pas
> ce qui nous intéresse que de dire que ça n'a pas de sens, car le sens à
> donner à de tels produits infinis est souvent intuitif pour tout le
> monde.

Oui, peut-être.

Ce que je critique, c'est qu'ils ne disent pas que ça n'a pas de sens
en général, pas qu'ils disent que lorsque ça peut avoir un sens, c'est
quand même pas ça qu'il faut considérer.

En sup, j'ai mis un peu de temps à me faire la remarque : je me demandais
d'où sortait ce « fini » qui me paraissait si mystérieux jusqu'à ce que
je me dise que de toute façon si on ne le mettait pas ça voulait dire la
même chose. Et quand je l'ai faite à mes profs, j'avais l'impression que
c'était la première fois qu'ils entendaient ça et qu'ils n'y avaient
jamais pensé eux-mêmes. Et moi, je pense que c'est une chose importante à
comprendre... du moins qu'il faut toujours faire attention qu'une somme ou
un produit infini, c'est pas facile à définir.

Maintenant, je suis peut-être le seul à avoir ce sentiment.

--
Xavier, que exactement la même remarque pour la définition d'une
combinaison linéaire.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit
> Et moi, je pense que c'est une chose importante
> à comprendre... du moins qu'il faut toujours faire
> attention qu'une somme ou un produit infini, c'est
> pas facile à définir.

D'ailleurs, vu que cela se définit comme la limite
d'une certaine suite, je suppose qu'il faut d'abord
avoir défini une distance ? Et que si on définit deux
distances non équivalentes on risque fort d'obtenir
deux résultats différents ?

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" , dans le message
(fr.education.entraide.maths:49921), a écrit :
> D'ailleurs, vu que cela se définit comme la limite
> d'une certaine suite, je suppose qu'il faut d'abord
> avoir défini une distance ? Et que si on définit deux
> distances non équivalentes on risque fort d'obtenir
> deux résultats différents ?

Tout à fait. Plus généralement, une topologie (à la place d'une distance
donc), ça suffit. Mais sans, on ne peut rien faire.

--
Xavier, qui ai un peu l'impression de me répéter mais bon