Orthogonalité de fonctions.

[Anonyme]

Bonsoir,
J'ai un petit problème pour montrer l'orthogonalité de deux fonctions.
Soit les fonctions de la forme 1/Delta * sinc (t - k*Delta)
avec sinc le sinus cardinal, donc sinc (x) = sin(Pi*x) / (Pi*x)

Il faut que je montre que les fonctions x(t) = 1/Delta * sinc (t - k*Delta)
et y(t) = 1/Delta * sinc (t - l*Delta) sont orthogonales si k différent de
l.

J'ai eu au départ l'idée de partir comme pour montrer que les sinus et
cosinus en forment une, c'est à dire avec le calcul de l'intégrale, mais
disons que le calcul me parait très lourd et je pense qu'il y a plus simple
et plus élégant Surtout que le sujet me dit de penser au fait qu'il y a
deux manières d'exprimer un produit scalaire. Je vois l'intégrale et la
manière avec les normes et le cosinus, mais je ne vois pas du tout comment
ca pourrait m'avancer.

Merci d'avance de votre aide.

A.

[Anonyme]

Le 27/01/04 23:20 , knodeuser a exprimé son opinion en les termes suivants:
> Bonsoir,

Bonsoir,

> J'ai un petit problème pour montrer l'orthogonalité de deux fonctions.
> Soit les fonctions de la forme 1/Delta * sinc (t - k*Delta)
> avec sinc le sinus cardinal, donc sinc (x) = sin(Pi*x) / (Pi*x)
>
> Il faut que je montre que les fonctions x(t) = 1/Delta * sinc (t - k*Delta)
> et y(t) = 1/Delta * sinc (t - l*Delta) sont orthogonales si k différent de
> l.
>
> J'ai eu au départ l'idée de partir comme pour montrer que les sinuset
> cosinus en forment une, c'est à dire avec le calcul de l'intégrale,mais
> disons que le calcul me parait très lourd et je pense qu'il y a plus simple
> et plus élégant Surtout que le sujet me dit de penser au fait qu'ily a
> deux manières d'exprimer un produit scalaire. Je vois l'intégrale et la
> manière avec les normes et le cosinus, mais je ne vois pas du tout comment
> ca pourrait m'avancer.

Bon, ce doit pas être ce que cherche à te faire faire ton problème mais
j'ai une méthode un peu bourrine.

Tu écris que sin(x)/x=int_{-1}^1 exp(iux)du
Ensuite tu calcule le produit de tes deux sinus cardinaux via Fubini (ce
qui te fait apparaitre un produit d'exponentielles i(t-k.Delta)u et
i(t-l.Delta)v) et en faisant le changement de variable
w=u+v
z=k.u+l.v
Tu calcules son jacobien et ca marche des que k!=l.

Tu obtiens alors une expression ou se retrouve des constantes
multipliées par sin(2.Pi.t)/(2.Pi.t).
Si ton intervalle à la bonne idée d'être symétrique par rapport àzéro,
il me semble alors que l'intégrale du produit vaut 0. Et tes fonctions
sont orthogonales.

Maintenant, je ne suis sûr de rien, j'ai vaguement jeté ça sur un bout
de papier et vu l'heure, il se peut que je me sois trompé dans les calculs.

> Merci d'avance de votre aide.

De rien. Si je t'ai un peu aidé, tant mieux.

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Nous pensions que le monde était neuf parce que nous étions neufs dans
le monde.
-Paul Nizan

[Anonyme]

J'ai pas lu mais plus simplement sans doute, tu utilises que (a des
constantes pres) :
1/((x-k)(x-l)) "=" 1/(x-k) - 1/(x-l)

[Anonyme]

Le 28/01/04 01:26 , Xavier Caruso a exprimé son opinion en les termes
suivants:
> J'ai pas lu mais plus simplement sans doute, tu utilises que (a des
> constantes pres) :
> 1/((x-k)(x-l)) "=" 1/(x-k) - 1/(x-l)

En effet, il était vraiment tard!

--
Denis

Pour me joindre, enlever les _ !

Le paradis existe, le lion et l'agneau partagent la meme couche. Mais
l'agneau ne dort pas beaucoup. C'est dérivé de W.Allen, je crois.

[Anonyme]

"knodeuser" a écrit dans le message de news:
4016e3d8$0$24044$626a54ce@news.free.fr...
> Bonsoir,
> J'ai un petit problème pour montrer l'orthogonalité de deux fonctions.
> Soit les fonctions de la forme 1/Delta * sinc (t - k*Delta)
> avec sinc le sinus cardinal, donc sinc (x) = sin(Pi*x) / (Pi*x)
>
> Il faut que je montre que les fonctions x(t) = 1/Delta * sinc (t -
k*Delta)
> et y(t) = 1/Delta * sinc (t - l*Delta) sont orthogonales si k différent de
> l.
>
> J'ai eu au départ l'idée de partir comme pour montrer que les sinus et
> cosinus en forment une, c'est à dire avec le calcul de l'intégrale, mais
> disons que le calcul me parait très lourd et je pense qu'il y a plus
simple
> et plus élégant Surtout que le sujet me dit de penser au fait qu'il y a
> deux manières d'exprimer un produit scalaire. Je vois l'intégrale et la
> manière avec les normes et le cosinus, mais je ne vois pas du tout comment
> ca pourrait m'avancer.
>
> Merci d'avance de votre aide.
>
> A.

Tu es sûr qu'elles sont orthogonales tes fonctions ? Parce que je demande à
Maple l'intégrale sur R de sin(x)/x*sin(x-1)/(x-1) (ce qui correspond en
gros à tes fonctions x et y quand k=1) et il me répond pi*sin(1), ce qui est
non nul (et effectivement c'est ce que je trouve à la main avec Parseval)
Ou alors je suis fatigué et je n'ai pas bien lu ton énoncé

[Anonyme]

"FDH" , dans le message (fr.education.entraide.maths:53229), a écrit :
> Tu es sûr qu'elles sont orthogonales tes fonctions ? Parce que je demande à
> Maple l'intégrale sur R de sin(x)/x*sin(x-1)/(x-1) (ce qui correspond en
> gros à tes fonctions x et y quand k=1) et il me répond pi*sin(1), ce qui est
> non nul (et effectivement c'est ce que je trouve à la main avec Parseval)
> Ou alors je suis fatigué et je n'ai pas bien lu ton énoncé

Tu as oublié un Pi. En fait, Pi, mais il y en a un qui n'est pas important
pour l'orthogonalité.

[Anonyme]

> Tu as oublié un Pi. En fait, Pi, mais il y en a un qui n'est pas important
> pour l'orthogonalité.

Oui, je sais, je n'ai pas mis les Pi : ça fait juste une dilatation et ça ne
change pas l'orthogonalité

[Anonyme]

"FDH" , dans le message (fr.education.entraide.maths:53237), a écrit :
> Oui, je sais, je n'ai pas mis les Pi : ça fait juste une dilatation et ça ne
> change pas l'orthogonalité

Bah, si.

[Anonyme]

"Xavier Caruso" a écrit dans le message de news:
bv9aqs$1aa5$1@nef.ens.fr...
> "FDH" , dans le message (fr.education.entraide.maths:53237), a écrit :[color=green]
> > Oui, je sais, je n'ai pas mis les Pi : ça fait juste une dilatation et[/color]
ça ne[color=green]
> > change pas l'orthogonalité
>
> Bah, si.[/color]
OK, ça y est, je viens de comprendre !
Il faut que k et l soient entiers !! je croyais que knodeuser voulait
montrer que les fonctions 1/Delta * sinc (t - k*Delta) et 1/Delta * sinc
(t - l*Delta) étaient orthogonales pour tous k et l réels. Forcément ça
risquait d'être dur !!!

Pour en revenir au problème de knodeuser , une simple application de
Parseval suffit