Difficile sans pistes

par **J-R** » 19 Oct 2007, 17:35

bonsoir,

j'ai rencontré un sérieux problème:

quel est le nombre de 0 dans l'écriture décimale de 100!

pour l'instant à part la méthode de bricolage que j'ai fait je n'arrive à rien.

s'il vous connaissez une démo sympa ...

merci

par **lapras** » 19 Oct 2007, 17:56

salut !
Je connaissais une formule pour te le dire, je la recherche et je te la donne :we:

par **J-R** » 19 Oct 2007, 17:58

salut lapras,

oui mais si c'est une formule il est nécessaire qu'elle soit démontrée ....

ok merci

par **lapras** » 19 Oct 2007, 18:00

Justement, par la rechercher je voulais dire la démontrer ! :zen:

par **J-R** » 19 Oct 2007, 18:02

ah bon .... :zen:

dans ce cas objection retirée :++:

par **lapras** » 19 Oct 2007, 18:49

C'est bon je sais comment faire.
Tu connais les valuation p-adiques ?
Soit p un nombre premier, n un entier naturel, alors la valuation p-adique de n est l'exposant de p dans sé décomposition en facteurs premiers
ex :
100 = 10² = 5²*2²
V5-adique = 2

Donc ici le but est de calculer la valuation p-adique de n!
(On note [N] la partie entiere de N)
Moi j'ai fait une limite :

Vp-adique = lim [n/p] + [n/p²] + [n/p^3] + .... + [n/p^N]
...............N->+OO

En effet, le principe est de chercher la valuation-5 adique dans le produit
par exemple dans 26! :
26! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25*26

On a
5,10,15 et 20 qui "nous donne des 5^1"

le 25 aussi, mais c'est un 5²

donc en fait
pour avoir V5-adique on prend le nombre de 5 dans 26 + 2*le nombre de 25 dans 26 (2 fois car 5² a une puissance de 2)etc...
donc
V5-adique = [26/5]-[26/5²] + 2*[26/5²] = [26/5]+[26/5²]

On obtient donc la formule précédente :
en effet, quand on regarde le nombre de 5 dans 26 on prend aussi en compte le 5 du nombre 25, donc on enleve ce nombre, mais on ajoute fois le nombre de 25 (car chaque 25 augmente de 2 la v5-adique de 26)

Vp-adique = lim [n/p] + [n/p²] + [n/p^3] + .... + [n/p^N]
...............N->+OO

En fait le nombre de 0 dans n! est la v5-adique de n
J'essaye encore de le démontrer, j'en suis pas totalement sur !

:!: Mon message est peut etre bourré d'erreurs, je veux dire que je suis pas sur de ce que je raconte

par **J-R** » 19 Oct 2007, 18:54

mince alors j'ai pas vu les p-adiques.

bon je me renseigne et je pose si jamais j'ai des problèmes....

merci lapras :we:

en attendant s'il n'y a pas d'autres solutions puisque c'est censé etre dans la divisibilité, congruences....

par **lapras** » 19 Oct 2007, 18:57

Ah c'est un probleme de congruences ?
Je vais essayer de réfléchir dessus (ps : je pense que ce que je t'ai dit c'est faux, car 12! a quatre '0' mais sa v5 adique est de 2...
Je vais chercher du coté des congruences

par **Nightmare** » 19 Oct 2007, 18:58

Salut :happy3:

ben au niveau des congruences !

Un nombre se termine pas 0 s'il est congru à 0 modulo 10, par 00 s'il est congru à 0 modulo 100, etc...

par **J-R** » 19 Oct 2007, 19:00

mais les valuations de p-adiques:

si je prend 50 c'est quoi ?

par **J-R** » 19 Oct 2007, 19:02

Nightmare : oui j'avais étudier en gros cette piste en trouvant le plus grand diviseur p à 100! tel que p = 10^n

donc j'avais pris en bricolant:

10*20*30*40*50...*100 mais il faut aussi prendre en compte les 5*2; 25*22... donc cette méthode m'a pariu fastidieuse et pas très jolie....

par **lapras** » 19 Oct 2007, 19:12

Oui mais là vous parlez tous du nombre de 0 à la fin de 100!
c'est simple de le calculer !
Mais en tout dans n!, comment faites vous ?

par **chan79** » 19 Oct 2007, 19:15

Salut
Il s'agit du nombre de zéros en tout ou bien du nombre de zéros à la fin ?

par **lapras** » 19 Oct 2007, 19:21

bah ce qui (je pense) intéresse J-R c'est le nombre de 0 en tout (c'est ce qui m'interesse aussi).
maintenant, si c'est un exo de terminale, ca me parait bizarre qu'il demande le nombre de 0 en tout
lol

par **J-R** » 20 Oct 2007, 07:17

ouii mince j'ai oublier de le préciser...

c'est le nombre de 0 à la fin de l'écriture décimale de 100!.

si je reviens sur les valuations p-adiques,

50=2*5^2 donc v5=2 ?

par **J-R** » 20 Oct 2007, 07:37

et s'il y a une méthode sans utiliser les valuations p-adiques je la prend car là je nage un peu ....

par **emdro** » 20 Oct 2007, 09:08

Bonjour,

A mon avis, la méthode, c'est la bricole comme tu as dit.
Tu peux aller voir ici.

par **J-R** » 20 Oct 2007, 09:58

bon bah ok je vais m'en tenir au bricolage (je n'avais obtenu que 21 zéros et je viens de comprendre avec les 3 derniers)

merci emdro (je ne sais pas si mon prof va apprécier... )

a+

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