Limite fonction inconnue-niveau TS

[kemsings]

Bonjour,
j'aurai besoin d'un petit peu d'aide pour mon DM de maths.
L'exo consiste à tracer la courbe représentative de f, dont on ne connait pas l'expression. Voici ce que l'on sait de f :
f est définie et dérivable sur R, f(0)=0 pour tout x et f ' = ( 1 / (1+x²) )

Les premières questions m'ont permis d'avoir d'autres renseignements tels que :

* G ( x) est une fonction constante d'expression : G(x) = f(x) + f(-x). De plus, f est impaire.

* H (x) est une fonction constante telle que H(x) = f(x) + f (1/x) , définie sur I= ]0;+oo[.
De plus, H(x) = 2 f(1) pour tout x de I .


La question sur laquelle je bloques est la suivante : " Déduisez-en que la limite de la fonction f en +oo est 2f(1).

Je ne vois pas vraiment comment faire....merci de votre aide.

[kemsings]

Je viens d'avoir une idée, mais j'aimerais que quelqu'un me confirme que c'est bon (ou pas...^^ ) :

H(x) = f(x) + f(1/x)

On étudie la limite de f(1/x) en +oo :
il s'agit d'une composée soit f(u) avec u=1/x
Or lim en +oo de u = 0 donc lim en 0 de f(u)= f(0) = 0 (d'après les données)
Par conséquent, lim de f(1/x) en +oo = 0

Ainsi, lim H(x) = lim f(x) + 0 donc lim f(x) = lim H(x) (en + oo)

Mais il me reste à prouver que lim H(x) = 2f(1), sachant que H(x) = 2f(1)...

H est une fonction constante...cela suffit-il pour dire que lim en +oo de H(x) = 2f(1) ????

[Quidam]

H est une fonction constante...cela suffit-il pour dire que lim en +oo de H(x) = 2f(1) ????

Oui, cela suffit !

[kemsings]

ok, merci beaucoup !