PEtite recurrence

[juve1897]

Bonjour,


j'essaye de montrer par recurrence que
n^4 - 4n^2 est divisible par 3 (pour tous n>=0)

Posons q un element qqconque € R

H0 OK
0^4 - 4.0^2 = 3q
0 = 3q <=> q= 0
rang 0 est vrai

Hn
supp que n^4 - 4n^2 = 3q est vrai

Verifions au Rang H(n+1)
(n+1)^4 - 4(n+1)^2 = 3q

Alors là je coince, je ne sais pas si la meilleure methode serait de partir de Hn et de tomber sur H(n+1) ou bien l'inverse.
MErci.

[Joker62]

(n+1)^4 - 4(n+1)^2 = (n+1)^2[(n+1)^2 - 4] = (n+1)^2[(n+1-2)(n+1+2)] = (n+1)^2 . (n-1) . (n+3)

Voilà maintenant faut réfléchir deux secondes :)

[juve1897]

(n+1)^4 - 4(n+1)^2 = (n+1)^2[(n+1)^2 - 4] = (n+1)^2[(n+1-2)(n+1+2)] = (n+1)^2 . (n-1) . (n+3)

Voilà maintenant faut réfléchir deux secondes

oui j'ai factorisé de plusieurs façon differente, masi je ne vois pas comment je peux retomber sur Hn...

A moins que le but ne soit pas de retomber sur Hn ...

PEux tu me donner un indice STP.

[Joker62]

En oubliant deux secondes ta réccurence

n^4 - 4n^2 = n²(n-2)(n+2)

Alors

Fait une distinction de cas sur les restes de n modulo 3
déduis en les restes du produit plus haut.


Si n congrue à 0 modulo 3, n^4 - 4n^2 est clairement divisible par 3
Si n congru à 1 modulo 3, On a n+2 congrue à 0 modulo 3, donc n^4 - 4n^2 est divisible par 3
Si n congru à 2 modulo 3, On a n-2 congrue à 0 modulo 3, donc n^4 - 4n^2 est divisible par 3

[juve1897]

En oubliant deux secondes ta réccurence

n^4 - 4n^2 = n²(n-2)(n+2)

Alors

Fait une distinction de cas sur les restes de n modulo 3
déduis en les restes du produit plus haut.


Si n congrue à 0 modulo 3, n^4 - 4n^2 est clairement divisible par 3
Si n congru à 1 modulo 3, On a n+2 congrue à 0 modulo 3, donc n^4 - 4n^2 est divisible par 3
Si n congru à 2 modulo 3, On a n-2 congrue à 0 modulo 3, donc n^4 - 4n^2 est divisible par 3

je me lance

nous avons

n^4 - 4n^2 = n²(n-2)(n+2)

or n²(n-2)(n+2) modulo 3 n²(n+1)(n+2) modulo 3
car n-1 modulo 3 n+1 modulo 3

Donc nous avons
(n+1)^4 -4(n+1)² = (n+1)²(n-1)(n+3)
or (n+1)²(n-1)(n+3) modulo 3 (n+1)²(n+2)(n) modulo 3
car (n-1) modulo 3 n+2 modulo 3
et (n+3) modulo 3 n modulo 3

Hn : n²(n+1)(n+2) modulo 3 =0
cad qu'il y'a au moins un des facteurs qui est divisible par 3

H(n+1): (n+1)²(n+2)(n)
nous retrouvons exactement les memes facteurs que dasn Hn donc on peut conclure que qu'au rang Hn+1 la focntion est divisible par 3

Donc par recurrence n^4 -4 n² est divisible par 3


Est ce que c'est jsute ???

[Joker62]

Bé y'a pas besoin de récurrence.

On a montrer que pour tout n

n²(n-2)(n+2) possède au moins un facteur divisible par 3 donc c'est fini

[juve1897]

Bé y'a pas besoin de récurrence.

On a montrer que pour tout n

n²(n-2)(n+2) possède au moins un facteur divisible par 3 donc c'est fini

Donc tout ce que j'ai ecrit est faux ????
Car moi je me sers de Hn pour montrer H(n+1)

je ne vois pas comment tu peux demontrer que Hn est vraie ???

Edit: le but de mon exo est de le montrer par recurrence !

[Joker62]

Mais c'est pas que c'est faux, c'est que c'est purement inutile.

On a montrer que c'était vrai pour tout n € N
Pourquoi s'entêter dans une récurrence ?

Edit : Ah donc s'il faut une récurrence, je ne dis plus rien :D

[juve1897]

Mais c'est pas que c'est faux, c'est que c'est purement inutile.

On a montrer que c'était vrai pour tout n € N
Pourquoi s'entêter dans une récurrence ?

Edit : Ah donc s'il faut une récurrence, je ne dis plus rien

Donc mon raisonnement tiens la route ou pas ???

derniere question:
est ce que j'ai le droit de dire (n-2) modulo 3 (n+1) modulo 3 ?

Merci joker pour ton aide,
je suis en pleine révision sur les ensembles, les relations ainsi que sur les techniques de démonstration, ce qui explique les divers topics que je crée . :lol5:

[Joker62]

Ben (n-2) modulo 3 déjà ça veut rien dire :D

Tu peux toujours dire que le reste de la division par 3 de n-2 est le même que celui de n+1 dans la division euclidienne par 3.

Mais si tu tiens absolument à utiliser une récurrence, je ne pense pas que ce soit de ce côté qu'il faut chercher, plutôt écrire (n+1)^4 - 4*(n+1)^2 et l'écrire sous forme de produit pour pouvoir utiliser la propriété vraie pour le rang n.

[juve1897]

Ben (n-2) modulo 3 déjà ça veut rien dire

Tu peux toujours dire que le reste de la division par 3 de n-2 est le même que celui de n+1 dans la division euclidienne par 3.

Mais si tu tiens absolument à utiliser une récurrence, je ne pense pas que ce soit de ce côté qu'il faut chercher, plutôt écrire (n+1)^4 - 4*(n+1)^2 et l'écrire sous forme de produit pour pouvoir utiliser la propriété vraie pour le rang n.

Ok, merci.

c'est ce que j'essaye de faire depuis le debut, mais je galere de trop pour y arrivé, je factorise, je developpe, je reduis, enfin je bidouille pas mal, mais je n'arrive pas à faire apparaitre Hn

je supp vraie:
Hn: n^4 - 4n² = 3q

je cherche à montrer que
Hn+1: (n+1)^4 -4(n+1)² est vraie en retombant sur Hn