Petite récurrence

[neuneu]

Bonjour je souhaiterais montrer par récurrence que 2^(n-1) <= n! quelque soit n>=1
Voilà ce que j'ai commencé à faire:
pour n=1: 2^(1-1)=2^0=1 par convention et 1!=1
donc c'est vrai au rang n=1

supposons que se soit vrai au rang n-1, montrons que c'est vrai au rang n
on a donc 2^((n-1)-1)<= (n-1)! quelque soit n>=1
n2^(n-2)<= n(n-1)! quelque soit n>=1
cad n2^(n-2)<=n!
mais pour la suite je ne vois pas comment faire..si quelqu'un pouvait m'aider svp
Pour la rédaction d'une récurrence çà va?çà fait un petit moment que je n'en ai pas fait.
Merci

[fahr451]

bonjour

plusieurs problèmes

1! = 1 n'est pas une convention (mais c'est pas grave )

on suppose donc pour n-1 mais pas QUELQUE SOIT n>=1 sinon onl'a supposé à tous les rangs et on a donc supposé ce qu'on doit montrer...

soit n>=2 on suppose pour n-1 POINT FINAL

on conclut en utilisant que n>=2


rem la récurrence est inutile

[texascal]

vrai pour n=1, vrai pour n=2,
supposons vrai pour n>2

2^(n-1)<=n!

On multiplie par 2 de chaque coté

2^(n-1)*2<=n*2
2^((n+1)-1)<=n!*2
donc vrai pour n+1

Voila,

Pascal

[Edrukel]

5ème ligne texas :-) , il faut mettre n!,je sais que c'est une faute de frappe :-)

[neuneu]

merci pour votre aide à tous les 2
pour fahr451 je voulais dire que 2^0 = 1 par convention, est ce que c'est vrai?

[fahr451]

oui la d'accord

[neuneu]

merci fahr451

[Pouick]

une convention ? pourquoi ? ... oui .. mais sinon on ne peut pas l'expliquer par la simple raison que .... :hum:

[fahr451]

on peut tout expliquer quand on est savant

au commencement étaient les structures


a^0 = e dans un anneau (par convention)

[legeniedesalpages]

et même dans un monoïde (disposant d'un élément neutre), tout produit vide est égal à l'élément neutre par convention.

D'où pour tout , et .

Edit: non pardon, une petite distraction :

pour tout , et . :briques:

[Pouick]

hmmm ... ok ... mais dans ce cas .. pour le cas plus général , cette convention ne découle t'elle pas d'un cas ou l'on connait le résultat ... ?

[legeniedesalpages]

c'est sûrement afin d'avoir, pour des ensembles d'indices disjoints I,J



pour avoir cette propriété il faut que pour tout ensemble I,

.
Et donc nécessairement (modifié).

tel que pour tout , .

[Pouick]

Et donc nécessairement .

Tu veux dire ?

[legeniedesalpages]

Tu veux dire ?

oups désolé, non je voulais dire

[Pouick]

lol .. loui ds l j'ai fait moi meme un erreur en tapant :ptdr:
C'est ce que je voulais dire
.. hmm ca me plait comme explication .. lol

[legeniedesalpages]

c'est sûrement afin d'avoir, pour des ensembles d'indices disjoints I,J

Oui enfin déjà avec cette convention on aura moins de problème pour avoir cette égalité mais je ne crois pas que ce soit suffisant.
Si I et J sont infinis, je suis pas sûr que ce soit toujours vrai, mais au moins pour "concaténer" deux produits finis on a pas de souci et c'est ce qu'on attend de la multiplication.

On a de meme les conventions:

_ une somme vide est toujours égale à zéro;
_ une union vide de parties d'un ensemble est égale l'ensemble vide;
_ une intersection vide de parties d'un ensemble E est égale à E.

[bruce.ml]

La valeur la plus difficile à conventionner est :hum:

[legeniedesalpages]

c'est à dire? je comprends pas trop ce que tu veux dire par "difficile à conventionner".