Petite recurrence

[juve1897]

Bonsoir,

j'essaie de résoudre un problème:


Montrez par récurrence sur n, que pour tout entier , 5 a pour ordre dans

Je ne vois pas comment faire, pourriez vous me guider ?

Merci

[Doraki]

C'est pas plutot (Z / 2^n.Z)* ?

[juve1897]

oui c'est ça, j'arrivais pas à l'ecrire .

Tu es dans ma classe où quoi lol ?

[leon1789]

Montrez par récurrence sur n, que pour tout entier , 5 a pour ordre dans

Ah ça me rappelle ma jeunesse ! Je me souvent de ce résultat assez surprenant... Bon, j'essaie de retrouver une démo...

[leon1789]

écris 5 =1+2^2 ... c'est la ruse cet exo je crois

[juve1897]

Ah ça me rappelle ma jeunesse ! Je me souvent de ce résultat assez surprenant... Bon, j'essaie de retrouver une démo...

Ben le prof a mis une indication si ça peut t'aider :

Indication: Montrez par rec. sur n, que pour tout entier , on a où k est un nombre entier impair.


Meme avec l'indication je vois pas comment faire.

[Doraki]

Tiens pourquoi ils ont pas mis n>=2 plutot =/

T'arrives pas la récurrence ou t'arrives pas à te ramener à l'indication ?

[leon1789]

Tiens pourquoi ils ont pas mis n>=2 plutot =/

Effectivement... :id:

[juve1897]

En fait j'ai du mal avec l'expression "a pour ordre".

J'ai pas compris ce que ça voulait dire.

[leon1789]

Démontre ça pour commencer

Montrez par rec. sur n, que pour tout entier , on a où k est un nombre entier impair.

Tu fais une récurrence (hé hé c'est écrit) en commençant par

[juve1897]

Tiens pourquoi ils ont pas mis n>=2 plutot =/

T'arrives pas la récurrence ou t'arrives pas à te ramener à l'indication ?

Ben l'indication je ne comprends pas trop le 1 + k * 2^n =

Et pour la récurrence je réfléchis encore.

[juve1897]

JE suis desolée d'insister mais j'ai pas compris ce que voulais dire "5 a pour ordre

Car pour moi dire que 5 a pour ordre 2 dans (pour n = 3) ça veut rien dire.

[leon1789]

Car pour moi dire que 5 a pour ordre 2 dans (pour n = 3) ça veut rien dire.

Cela signifie que la plus petite puissance de 5 congrue à 1 modulo 8 est 5^2 :zen:

De manière générale, si x appartient à un groupe G multiplicatif,

[juve1897]

Merci pour ta def de l'ordre/

En effectuant la recurrence je reste bloquée la.

n = 3
= 1 + 3*

Supposons vrai jusqu'à l'ordre n
= 1 + k *

Montrons qu'elle st vraie pour n+1
=
= 1 + +


j'ai continue a développer mais ça ne me mene à rien
Peux tu m'aider à continuer STP.

[leon1789]

Montre que est multiple de . Quel est le quotient ? Et la parité du quotient ?

[leon1789]

Merci pour ta def de l'ordre/

En effectuant la recurrence je reste bloquée la.

n = 3
= 1 + 3*

Tu as vu que cela fonctionne aussi pour n=2 ? :we:

[juve1897]

Montre est multiple de . Quel est le quotient ? Et la parité du quotient ?

jai continué en faisant ceci:

= =

Mais apres je vois plus trop quoi faire.

EDIT : En fait je viens de me rendre compte que =

Nous avons donc bien la forme attendu

[leon1789]

Mais apres je vois plus trop quoi faire.

Tu es fatigué : tu as oublié ce que tu voulais démontrer dans cette récurrence.

Que peux-tu dire de ... avec .

[juve1897]

Tu es fatigué : tu as oublié ce que tu voulais démontrer dans cette récurrence.

Que peux-tu dire de ... avec .

J'ai fait un edit en haut.

On a la forme avec

nous pouvons dire que K est impair
car k est impair et est l'écriture d'un nombre impair (2p + 1)

est ce que je me trompe

[leon1789]

(...)un nombre impair 2p+1 car , ok .

Bon, la première récurrence est faite.
Maintenant, tu peux en déduire que l'ordre de 5 modulo 2^n est inférieure ou égale à "truc"...

La dernière étape est de prouver que l'ordre ne peut pas être plus petit que "truc" .