Norme sur Rn

[denver]

Bonjour à tous,

C'est bientot les vacances malheureusement il me reste encore un petit examen et je n'arrive pas à démontrer un théorème alors si qqn saurait m'aider se serait super.

Je dois démontrer que toutes les normes sur Rn sont équivalentes entre elles...

Merci déjà pour vos futures réponses.

[sarmate]

Bonjour.

Notons (e1,...,en) une base, et pour tout notons qui définit bien une norme sur .

On montre que toutes les normes sur sont équivalentes à N0.

On considère donc une autre norme N, et si on note a le réel on a pour tout



Munissons de la norme ||(x1,..,xn)||=sup |xi|.
L'application f:(,||.||)->(,N0) (x1,..,xn)-> est une isométrie donc la sphère unite S de pour N0 est un compact de , en tant qu'image de la sphère unité pour ||.|| par f.

D'après l'inégalité précédente, on a :

|N(x)-N(y)|= est continue. Comme S est compact (pour N0) on en débuit que b=inf{N(x), pour N0(x)=1} est non nul. (un compact dans R est un intervalle fermé borné, et ici ce compact de R ne contient pas 0).

Ainsi, pour tout x non nul de on a :