Question reduction

par **LEX** » 19 Mai 2007, 09:09

bonjour a tous, j'ai du mal à trouver une petite question

Soit f un endomorphisme de l'espace euclidien E tel que f^2=-Id et tel que f et f* commutent.
Que peut-on dire du polynome caracteristique et de la trace de f?

Merci beaucoup

par **tize** » 19 Mai 2007, 10:04

Bonjour,
une petite remarque : si

alors on a

...

par **fahr451** » 19 Mai 2007, 10:07

bonjour

A la matrice en base orthonomormée

A^2 = -In donc A est C diagonalisable avec valeurs propores +-i
comme la trace est réelle elle est forcément nulle
i et -i ont même multiplicité n/2 ( n est forcément pair)
le polynôme caractéristique est

(X-i)^(n/2)(X+i)^(n/2) = (X^2+1)^(n/2)
rem f et f* commutent n 'a pas servi

par **LEX** » 19 Mai 2007, 10:41

Merci de vos réponses. J'ai remarqué que X^2+1 etait annulateur. Mais pourquoi les valeurs propres sont +i et -i. Le spectre n'est-il pas seulement inclus dans +i et -i?

par **fahr451** » 19 Mai 2007, 10:48

la trace doit être REELLE

d'une façon générale si A est réelle ayant lambda complexe comme valeur propre, lambda barre est aussi vp ,les multiplicités géométriques et algébriques sont égales.

par **LEX** » 19 Mai 2007, 10:57

ah d'accord. Merci beaucoup :)

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