Barycentre : problème de concours

[minegd24]

Bonjour à tous !!!

Je voudrais de l' aide sur cet exercice avec lequel j'ai beaucoup de mal. Pouvez-vous m' aider s'il vous plaît ?

Dans la figure ci après , on suppose que les subdivisions sur les côtés du quadrilatère ABCD sont régulières et on a désigné par U et V les milieux respectifs de [AC] et [BD] .



1) Ecrire chacun des points I , J , K, L , M , N , O et P comme le barycentre de 2 sommets du quadrilatère .
2) Montrer que les droites (IM) et (LP) se coupent au barycentre de (U,2) et ( V, 1)
3) Montrer que les droites (JN) et (KO) se coupent au barycentre de (U,1) et de (V,2).
4) En déduire la propriété suivante : " les droites (IM) , (JN) , ( KO) et (LP) sont concourantes si et seulement si , ABCD est un parallèlogramme " .

Merci de me répondre . :8):

[titine]

Qu'as tu fait ?
As tu réussi à exprimer I et J comme des barycentres de A et B ?

[minegd24]

Bonjour titine. :salut:


J'ai déjà exprimer les barycentres de tous les points . J'ai aussi utilisé le théorème d' associativité pour les points I,M et L,P mais je ne sais pas ce qu'il faut faire après .

[titine]

J'ai aussi utilisé le théorème d' associativité pour les points I,M et L,P .

Et qu'est ce que ça te donne ?

[minegd24]

J'ai trouvé bar { (I,3);(M,3) } et bar { (L,3);(P,3) }.

[minegd24]

Je trouve bar {(I,3),(M,3)} et bar {(L,3),(P,3)} à partir de bar {(A,2),(B,1),(C,2)(D,1)} mais je ne sais pas comment l'expliquer. Pouvez-vous m'aider à écrire la rédaction ? Merci.

[titine]

Soit G le bary de (U,2) et (V,1)
G est aussi bary de (U,4) et (V,2)
Et aussi G bary de (A,2)(C,2)(B,1)(D,1)
car U isobarycentre de A et C er V isobary de B et D.
Si on regroupe autrement, G bary de (A,2)(B,1)(C,2)(D,1)
Donc G bary de (I,3) et (M,3)
car I bary de (A,2)(B,1) et J bary de ( C,2)(D,1)
Comme G est un barycentre de I et M, on en déduit que G appartient à (IM)

Tu démontreras de même que G appartient à (LP).

Donc (IM) et (LP) se coupe au point G bary de (U,2) (V,1)

Avec cet exemple je pense que tu arriveras à faire la suite

[minegd24]

Merci.
J'ai réussi à faire la suite mais pour la 4) je ne sais pas comment on peut en déduire cette propriété.

[titine]

Je dirai que les droites (IM) , (JN) , ( KO) et (LP) seront concourantes si et seulement si les barycentres de (U,2) et ( V, 1) et de (U,1) et de (V,2) sont confondues. Cela n'est possible que si U et V sont confondus, c'est à dire si les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu c'est à dire si ABCD est un parallélogramme.

[minegd24]

En fait cette propriété ne marche seulement si bar{(U,2),(V,1)} = bar{(U,1),(V,2)} . est-ce bien ça ?

[titine]

Oui?
Donc si U = V

[minegd24]

Merci de m'avoir m'aider. :++: