DIFFICILE

[MMu]

Soit un polynôme de degré à variable et coefficients réels, tel que
Montrer que

[MMu]

Mea culpa (erreurs de rédaction) : manifestement il faut et

[ComeDuRondeau]

Soit un polynôme de degré à variable et coefficients réels, tel que
Montrer que

J'ai essayé en exprimant dans des bases adaptées au problèmes. Avec les polynômes de Tchebychev ça a l'air prometteur ; on peut exprimer les coefficients de dans cette base comme les coefficients de Fourier de et obtenir une majoration de ceux-ci et de leurs sommes grâce aux hypothèses et aux propriétés des polynômes de Tchebychev mais je n'ai pas réussi à aboutir.
Avec différents choix d'abscisses pour les bases d'interpolation de Lagrange on arrive à des majorations mais plus grosses que celles demandées .

[Ben314]

Salut,
J'ai l'impression que le "plus grand" polynôme de degré vérifiant l'hypothèse est le -ième polynôme de Tchebychev : si est tel que alors .
Si c'est bien le cas, on en déduit facilement l'inégalité demandée, mais, pour le moment, je n'ai pas la preuve de ce résultat...

[Ben314]

En fait, c'est assez immédiat : vu les oscillations entre -1 et 1 que fait sur l'intervalle , tout polynôme tel que est tel que l'équation admet au moins racines (comptées avec ordre de multiplicité) sur . Donc, si est de degrés , il n'y a pas de racines sur et on en déduit bien que pour tout .