Inegalité d'olympiade tres difficile :)

[new007]

J'ai un exercice du Maths dont je n'est pas la solution..Est-ce que vous pouvez m'aider?
sois x et y 2 nombres reels qui verifient : 1;) x^2 +y^2-xy;)2 montrez que :
I).2/9;) x^4+y^4;)8
II).montrez que quelque sois n;)3 on a : x^2n + y^2n ;) 2/3^2n
merci d'avance mes amis :marteau:

[windows7]

salut,

t'as regardé avec kuhn tucker ?

[hydroemir]

c'est tout ce que j'ai pu faire:
((1+XY)(x^2-Y^2))+2Y^4 "inferieur" (X^4+Y^4) "inferieur" ((2+XY)(x^2-Y^2))+2Y^4
si on pose: ((1+XY)(x^2-Y^2))+2Y^4 =a, alors:
a "inferieur" (X^4+Y^4) "inferieur" a +(x^2-Y^2)

[windows7]

et avec kuhn tucker sa donne quoi ?

[Olympus]

Salut !

et avec kuhn tucker sa donne quoi ?

Lol, ça n'a rien à voir avec les olympiades ça :ptdr:

Sinon pour l'inégalité, je la regarderai dès que j'aurai fini mes DS ( je viens d'en foirer un... de physique :mur: ), càd dans au moins quelques semaines :zen:

[Ben314]

Salut,
Pour le premier, on s'en sort aisément par des moyens trés rudimentaires :
On pose et donc et .
L'hypothèse s'écrit et on doit encadrer .
On a et .

Comme alors .
(avec égalité ssi et , c'est à dire )

Si alors .
Si alors donc
(avec égalité ssi et , c'est à dire )

Mais je suis pas certain qu'on y arrive aussi simplement pour le cas général (mais ça risque fortement de donner des idées...)

[Olympus]

Salut Ben !

( bon allez j'ai pas pu y résister )

Y a toujours une preuve sans mots qui fait que quelques lignes :



EDIT : euh quand je me relis, c'est un poils plus long que celle de Ben :zen:

[Olympus]

Pour l'autre côté de l'inégalité, je dirais que c'est faisable avec la même méthode, càd factoriser .

Pour la généralisation, ça se fait facilement par récurrence . On montre que pour tout :

Pour n=0 c'est pas intéressant, pour n=1 : .

On suppose que l'inégalité est vraie pour un certain .

Il est clair que



Mais et par hypothèse de récurrence , d'où la conclusion .

Sur ce, je retourne à mes révisions :happy3: