Analyse, prépa

[tanb56]

Bonjour à tous !
J'ai actuellement un problème sur un exercice (très long ).
L'objectif de ce problème est de montrer que π est un nombre irrationnel. Pour tout entier n strictement positif et tout réel x, on définit : =.
Partie 1 : Préliminaires
Dans cette partie, on désigne par α un réel strictement positif fixé. Pour tout entier naturel n, on note .
1. Rappeler la définition de la partie entière d'une réel x, notée ⌊ ⌋. Bon c'est trivial, pas besoin d'aide là dessus.
2. On pose = ⌊α⌋. Montrer que, pour tout n>=, on a . Ici j'ai procéder par récurrence donc :
Initialisation : Pour n=


Hérédité :Soit n>=n0, on suppose :
Ici j'avais pour idée de montrer que : mais je ne sais pas trop comment développer cette idée
3. En déduire que la suite converge.
Ici j'imagine qu'il faut utiliser le théorème de la convergence monotone. est minorée et décroissante, donc elle converge.
4. Justifier que :
. Je devrais pouvoir m'en sortir tout seul pour cette question

Partie 2 : Dérivabilité de
1. Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral en précisant les hypothèses :
Soit I un intervalle de R, soit f ∈ (I,R). Soit a ∈ I et h tel que a+h ∈ I. On a :
f(a+h)=
2. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à cos, montrer que pour tout (a,b) ∈ , on a : |cos(b)-cos(a)+(b-a)sin(a)|
3. En déduire que si u : [0,1] -> R est continue alors la fonction U définie sur R par U : x -> est dérivable sur R avec, pour tout réel x, U'(x)=
Ici je voulais commencer en montrant que U(x+h)-U(x) + h est un o(h)
4. Soit n ∈ N*. Montrer que pour tout x ∈ R, on a :

Ici j'ai commencé à faire une intégration par parties sur l'intégrale
J'ai donc dérivé sin(xt) et intégré
On a donc :
v=sin(xt) -> v'=tcos(xt)
u' = -> u=
Ce qui donne :
Mais à partir de là, impossible de savoir comment continuer, j'aimerai bien procéder à un changement de variable, mais il est pas immédiat..

[stummel]

Pour la dernière question, l'idée de l'intégration par partie est intéressante et c'est ce qu'il faut faire mais encore faut-il poser les bons u et v.
Ici on constate que si alors ce qui devrait sans doute te permettre d'arriver au bout sans changement de variable....

[stummel]

Pour la 3, il ne faut pas oublier que l'on dérive par rapport à x et pas par rapport à t. Du coup, comme U(x) est continue sur [0, 1], on a :

[tanb56]

Merci pour vos réponses, je vais prendre note !