Récurrence

[ludovic44]

Bonjour à tous,

J'espère que je vais réussir à être clair, ma question est un peu confuse... J'ai le sentiment que "démontrer par récurrence" et "construire par récurrence", ce n'est pas tout à fait la même chose (c'est en travaillant la preuve de Bolzano Weierstrass que m'est venu cette interrogation). Je m'explique:

Supposons que l'on souhaite démontrer par récurrence qu'une suite est croissante.
Pour cela, il faut d'abord montrer que (initialisation) puis enchaîner sur l'hérédité.

Supposons à présent que l'on souhaite construire par récurrence une suite croissante (comme dans la preuve de Bolzano Weierstrass où l'on construit une application strictement croissante de dans ).

Pour ce faire, je vois le genre de choses suivantes: posons et supposons que l'on ait construit les n premiers termes tels que . Construisons alors de sorte que .

Voila, ce qui me gêne, c'est que dans cette construction, on a pas vraiment initialisé. N'aurait-il pas fallu construire et prouver que avant de passer à l'hérédité ?

J'espère avoir su me faire comprendre ! Merci pour vos éclaircissements

[tournesol]

On a initialisé:
je construis le premier terme: Uo=a

[ludovic44]

Bonjour,

Ce qui me pose problème, c'est que dans cette construction de Uo, on ne tient pas compte que Uo vérifie Uo<U1.

Dans l'HR, on suppose ensuite avoir construit U0<U1<U2<....<Un et on construit Un+1 de sorte que Un<Un+1.

N'aurait-il pas fallu donc construire U1 de sorte a vérifier l'inégalité dans l'initialisation ? Inégalité qu'on aurait du vérifier si on souhaitait démontrer par récurrence qu'une certaine suite est croissante.

[lyceen95]

Démontrer et construire, est-ce pareil ?
Evidemment non.
Je suis surpris qu'on s'attaque à des monstres comme Bolsano-Weierstrass, et qu'on galère sur une question de ce type.

[ludovic44]

Mouais, une remarque ni sympa, ni constructive. D'autant plus que vous ne semblez pas avoir compris le sens de ma question qui ne porte en rien sur la différence entre construire et démontrer.

[tournesol]

OK pour ton message de 7h15
Je n'avais pas lu la fin de ton premier message .

[lyceen95]

Je reconnais le coté pas sympa.
Constructivement, Tournesol a donné la bonne réponse.
Et constructivement encore, tu veux transposer une méthode de démonstration sur une méthode de construction. Ou l'inverse. Et forcément, les mécanismes mis en place sont différents.

Tu considères qu'on n'a pas vérifié l'initialisation dans la "construction par récurrence". Soit, admettons si tu y tiens.
Mais posons nous les bonnes questions :
- pourquoi a-t-on besoin de vérifier l'initialisation et l'hérédité dans une démo par récurrence ?
- et pourquoi la construction par récurrence telle qu'elle est présentée est-elle totalement valide ?
Ce n'est pas un texte de loi arbitraire, qui nous oblige à vérifier l'initialisation dans un cas et pas dans l'autre, ni un prof de math qui a décidé arbitrairement que ce serait comme ça et pas autrement, c'est une logique redémontrable.

Il faut comprendre la mécanique derrière tout ça.

[ludovic44]

Bonjour, le mécanisme, tel que je le comprends, dans ce cas précis, serait:

Ayant construit Uo et supposant avoir construit Uo,...Un-1 tels que Uo<...<Un-1, expliquer comment définir Un supérieur à U_{n-1}. Ainsi, de proche en proche, ayant Uo, je sais comment obtenir U1 tel que Uo>U1 etc etc...

Autre chose qui a pu me rendre incertain/fébrile sur ma compréhension de la preuve : cette construction semble toujours être faite au sens fort (plusieurs sources dont la superbe vidéo du youtubeur Oljen): on suppose avoir construit Uo<U_1<...<U_{n-1} et on explique alors comment obtenir Un (avec l'histoire des découpages successifs en prenant toujours soin de choisir un morceau qui contient une infinité de termes de la suite bornée...).

Mais pourquoi ne pas faire une récurrence au sens faible (Uo construit et supposant u_{n-1} construit, comment définir Un tel que Un>U_{n-1}) ? Sauf erreur, il me semble que ce mécanisme serait correct ?


Pour conclure sur la petite "dispute", je ne considère pas que l'apprentissage des maths soit une chose linéaire. On peut s'attaquer à des théorèmes importants et tout à coup s'interroger sur des choses qui ne nous avaient encore jamais chagriné et qui, bien qu'elles puissent paraître basiques , posent subitement des problèmes dans un contexte précis. D'autant plus lorsque (cela est mon cas) on se remet aux maths (niveau sup) après plusieurs années à enseigner à des lycéens.

[laetidom]

. . . je ne considère pas que l'apprentissage des maths soit une chose linéaire. On peut s'attaquer à des théorèmes importants et tout à coup s'interroger sur des choses qui ne nous avaient encore jamais chagriné et qui, bien qu'elles puissent paraître basiques , posent subitement des problèmes dans un contexte précis. D'autant plus lorsque (cela est mon cas) on se remet aux maths (niveau sup) après plusieurs années à enseigner à des lycéens.

Bonjour à tous,
Je partage parfaitement cette présentation de l'apprentissage des maths.
Cordialement.