Document très suspect (univ Lyon1 capes)

[azf]

Bonjour

Pourriez vous me confirmer que le document en lien ci-dessous
oublie de dire que ce qu'il y est écrit est exact
sauf si la droite en question passe par le centre de gravité du triangle

C'est très simple* à démontrer mais comme le document est sérieux
c'est un document d'une université
et que je ne suis ni mathématicien ni étudiant alors j'angoisse

PDF aller à la page 3
http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/GeoIIcc.pdf

Voilà le passage douteux


Vraiment j'angoisse** là (merci de me répondre)

*Ma démonstration fait huit lignes et franchement elle est simple
**C'est sérieux

[azf]

Ma démo

On peut prendre un réel non nul tel que la somme des coordonnées barycentriques d'un point ou d'une droite quelconque du plan par rapport au repère barycentrique sera ce réel

Alors sur ce repère



et pour le centre de gravité du triangle ses coordonnées barycentriques seront


Si vraiment il existe une droite passant par de coordonnées barycentriques par rapport au repère barycentrique donc ici selon alors on doit au moins vérifier



et donc vérifier

bah c'est pas possible vu que

Alors bon moi j'angoisse car ce document ne parle pas de l'exception pour toute droite passant par

Après ce qu'il dit est ok mais il devrait préciser cette exception quand même non ?

[azf]

personne?

[catamat]

Bonjour

A première vue il semble que tu confondes les coordonnées barycentriques de G avec les coeff de l'équation de la droite.

Par ex, dans le repère cartésien , G a pour coordonnées (1/3,1/3)
La droite (D) d'équation 3x+3y-2=0 passe donc par G.

Ce que dit le document c'est que l'équation barycentrique de (D) dans (A,B,C) est -2x0 + x1 + x2=0

En effet cette droite passe bien par G de coordonnées barycentriques (1/3,1/3,1/3).

Ici on a u+v+w=0, u v et w étant les coeff de l'équation barycentrique.

[azf]

Ici on a u+v+w=0, u v et w étant les coeff de l'équation barycentrique.

je veux bien mais la somme des coordonnées barycentriques d'un point ou d'une droite ne doit jamais être nulle normalement

ici si la droite passe par G on a une somme nulle des coordonnées barycentriques de la droite passant par G

C'est possible de parler de coordonnées barycentriques dont la somme est nulle?

[catamat]

C'est la somme des coeff qui est nulle pas la somme des coordonnées barycentriques

[azf]

u,v,w ici se sont les coordonnées barycentriques de la droite et non pas les coefficients de l'équation cartésienne de la droite

[catamat]

non ce sont les coefficients de l'équation barycentrique de la droite

[azf]

non ce sont les coefficients de l'équation barycentrique de la droite

je cite wiki

"On appelle alors coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques, "

c'est la même chose pour wiki

https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_barycentriques

[catamat]

Ok mais là il s'agit d'un point pas d'une droite !

Cas général:

M(x,y) dans le repère cartésien
(D) d'équation ax+by+c=0 dans le repère cartésien

On peut démontrer sans difficultés que M(1-x-y,x,y) dans (A,B,C), on note x0, x1 et x3 ces trois coordonnées barycentriques dont la somme est non nulle.

Posons u=c, v=a+c et w=b+c (valeurs données dans le doc)

M appartient à (D) ssi ax + by + c=0
ssi c(1-x-y) + (a+c)x + (b+c)y= 0
ux0 + vx1 + wx2 =0 (équation barycentrique de la droite)

[azf]

ux0 + vx1 + wx2 =0 (équation barycentrique de la droite)

ok et je trouve u+v+w=0

c'est donc pas bon car u,v,w sont les coordonnées barycentriques de la droite passant par G

et donc une somme nulle pour des coordonnées barycentriques

que ce soit pour une droite ou pour un point la somme des coordonnées barycentriques ne doit jamais êtres nulles non?

[azf]

Je ne conteste pas l'exactitude du document mais quand il s'agit de l'équation barycentrique d'une droite passant par G j'ai

avec

vous dites que sont les coefficients barycentriques de la droite ok

pour wiki on a vu que coefficients barycentriques d'une droite ou coordonnées barycentriques d'une droite c'est la même chose

donc on est bien d'accord que ici avec cette droite passant par G on a que la somme de ses coordonnées barycentriques est nulle

on est d'accord jusque là?

[hdci]

pour wiki on a vu que coefficients barycentriques d'une droite ou coordonnées barycentriques d'une droite c'est la même chose

Non ce qui y est dit, c'est "les coordonnées barycentriques, ou coefficients barycentriques d'un point".

Ici on a une équation de droite où u, v, w sont les coefficients de l'équation de la droite, et x1, x2, x3 les coordonnées barycentriques du point.

[azf]

donc si je comprend bien il est normal d'avoir tant que sont les coefficients barycentriques d'une droite

pour un point de coordonnées barycentriques sur la droite passant par G on a



ok mais que sont les coordonnées barycentriques de cette droite sinon ?

On ne parle jamais de coordonnées barycentriques d'une droite ?

[hdci]

A priori, "coordonnées barycentrique d'une droite" n'a pas de sens, ou du moins je ne l'ai jamais rencontré.

A mon sens, les coordonnées, c'est un n-uplet permettant de repérer un point dans un repère (espace affine), ou un vecteur dans une base (espace vectoriel), de façon plus générale pour repérer un élément de l'ensemble à partir d'un mécanisme de repérage.

La droite n'est pas un élément de l'espace affine, mais un sous-ensemble de l'espace affine ; elle n'a doncpas de coordonnées.

De la même façon, l'équation cartésienne d'une droite est ax+by+c=0, on ne dit pas que (a,b,c) sont les coordonnées de la droite, mais que (x,y,z) sont les coordonnées des points

[azf]

A priori, "coordonnées barycentrique d'une droite" n'a pas de sens, ou du moins je ne l'ai jamais rencontré.

ok dans ce document ils n'en parlent pas



donc ok vous avez raison

la somme des coefficients barycentriques d'une droite peut être nulle tant qu'ils ne sont pas tous égaux

page 7 de ce lien

https://lescoursdemathsdepjh.monsite-orange.fr/file/cc3b7d5ca39cee78fabf0c3ad57eed62.pdf

[azf]

Merci pour votre aide Catamat et HDCI

Vous aviez raison!

pour une droite on parlera de coefficients barycentriques et leur somme peut être nulle (tant qu'ils ne sont pas tous égaux)

[hdci]

Au passage : les coefficients de la droite ne peuvent pas être "tous égaux", car sinon les seules solutions en (x1,x2,x3) de l'équation seraient justement des triplets à somme nulle...

[azf]

Vraiment merci HDCI (& Catamat )

Franchement vous m'avez sauvé la vie (je ne suis pas mathématicien ni étudiant donc pour moi c'est hyper important pour mon équilibre mental que je comprenne les maths)

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

,Ça ne me choque pas du tout de considérer les coefficients de l'équation barycentrique d'une droite comme des coordonnées barycentriques de cette droite.

Situation : dans le plan projectif P, une droite i choisie comme droite de l'infini, et trois points A,B,C formant un repère barycentrique dans le plan affine E complémentaire de i. Soit G l'isobarycentre de A,B,C dans ce plan affine.
Situation duale : dans le plan projectif dual P*, un faisceau linéaire comme droite de l'infini : le faisceau linéaire des droites passant par G. Dans le plan affine E* complémentaire de cette droite de l'infini, les trois droites (BC), (CA) et (AB) forment un repère barycentrique. Les coordonnées barycentriques dans ce repère de la droite d d'équation barycentrique ux+vy+wz+0 sont bien (u:v:w) (pourvu que d ne passe pas par G). À noter que l'isobarycentre des trois droites (BC), (CA) et (AB) est la droite i.