Condition nécessaire pour un extremum local

[Frandom94]

Bonjour à toutes et à tous,

Dans la propriété suivante : soit f une fonction définie sur l’intervalle ouvert I de R. Si f admet un extremum en a de I alors f'(a) =0, je me demande pourquoi on exige de I qu'il soit ouvert.

Quelqu'un pourrait-il m'aider à lever le doute ?

Bonne journée à vous !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Regarde ce qui se passe pour la fonction définie sur l'intervalle fermé [0,1].

[Frandom94]

Ok c'est clair pour cet exemple. Pour être sûr de comprendre, cela veut dire que sur le même intervalle ouvert, f n'admet pas d'extrémum ?

J'ai toujours un peu de mal à voir ce qu'il se passe dans le cas général.

[hdci]

Bonjour,

Quelle est la définition d'un maximum ? C'est une valeur telle qu'il existe vérifiant , et telle que pour tout x de l'ensemble de définition,

Même chose pour le minimum.

Le point crucial est "'il existe vérifiant ". Ainsi, la fonction est bornée, strictement croissante sur IR mais n'a ni maximum ni minimum.

Sachant cela, y a-t-il un maximum à la fonction définie sur ?

[catamat]

Bonjour,

C'est plutôt bien expliqué sur cette page :

https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctio ... emum_local

(désolé le lien passe mal cliquez sur celui qui apparait dans la page wiki : derivee extremum local)

soit f une fonction définie sur l’intervalle ouvert I de R. Si f admet un extremum en a de I alors f'(a) =0

Vous avez oublié de dire que f est dérivable sur I

[mathelot]

Quelle est la définition d'un maximum ? C'est une valeur telle qu'il existe vérifiant , et telle que pour tout x de l'ensemble de définition,


Sachant cela, y a-t-il un maximum à la fonction définie sur ?

bonsoir,
il y a une erreur dans la définition

[hdci]

Exact, deux erreurs en fait : j'ai écrit \geq au lieu de \leq en latex, et j'ai fait court en prenant la définition du maximum global et non local.

Donc pour un maximum local, la définition à retenir est : il existe un intervalle ouvert contenant tel que pour tout x appartenant à l'intervalle INTER l'ensemble de définition, on ait

[mathelot]

On peut supposer, pour simplifier , que la fonction f est définie sur un intervalle de R ouvert non vide

[hdci]

Mais la question initiale était "pourquoi fallait-il que l'intervalle soit ouvert" (car u maximum local peut être atteint sur un intervalle fermé, sans que la dérivée ne s'y annule) ; il faut donc bien définir le maximum en prenant en compte un ensemble pas forcément ouvert.

[mathelot]

La fonction f admet un maximum local en x0 à la condition que f soit définie sur un voisinage de x0

[Frandom94]

Bonjour,

Quelle est la définition d'un maximum ? C'est une valeur telle qu'il existe vérifiant , et telle que pour tout x de l'ensemble de définition,

Même chose pour le minimum.

Le point crucial est "'il existe vérifiant ". Ainsi, la fonction est bornée, strictement croissante sur IR mais n'a ni maximum ni minimum.

Sachant cela, y a-t-il un maximum à la fonction définie sur ?

D'accord, j'avais senti l'idée mais je n'étais pas bien sûr de mon coup ! On peut trouver des majorants, mais aucun d'eux n'est jamais atteint quand l'intervalle est ouvert. Merci beaucoup à toi

[Frandom94]

Merci à tous pour vos réponses ! ^^

[hdci]

La fonction f admet un maximum local en x0 à la condition que f soit définie sur un voisinage de x0

La fonction admet un maximum (global en outre) en 0, mais elle n'est pas définie au voisinage de 0 dans , uniquement au voisinage de 0 dans , d'où l'intersection de l'intervalle ouvert contenant 0 et intersecté avec l'ensemble de définition.

Si on considère la topologie induite sur l'ensemble de définition, toute fonction est définie au voisinage de tous les points de son ensemble de définition.