Equation aux dérivées partielles non-linéaire

[mdho]

Bonjour à toutes et à tous,

Je fais face à des difficultés pour résoudre une équation aux dérivées partielles non-linéaire que j'obtiens à la suite d'une petite modélisation. L'équation a la forme suivante :



où sont des réels fixés.

Pour l'instant, j'ai posé et en réinjectant dans l'équation, j'ai identifié deux solutions particulières de cette équation. On obtient alors les contraintes suivantes sur les paramètres :








Mais je pense que l'ensemble des solutions n'est pas restreint à deux fonctions.
Ma question est donc, comment poursuivre, quelle est la forme de l'ensemble des solutions et comment les obtenir toutes ?

Par ailleurs, en termes de régularité, on sait seulement que la solution est , n'est-ce pas ?

En vous remerciant pour votre aide,
mdho

[lyceen95]

Sauf erreur, je pense qu'il peut aussi y avoir des termes en xy² dans la solution.

Et il me semble que quand j'étais étudiant (les notations ont pu changer), tout polynome était C (infini), et pas seulement C1.

[mdho]

Merci pour cette proposition. Il me semble toutefois après calcul que le coefficient associé au terme est nul également.

Quant à la régularité, je suis d'accord, un polynôme est bien . Je parlais davantage de conclure quant à la régularité des solutions à la lecture de l'équation. J'entendais par là que pour certaines équations linéaires, il est possible de démontrer par récurrence que les solutions sont en fait (la dérivée s'exprime "facilement" en fonction de la solution qui est , donc la dérivée est elle-même , donc la solution est , etc...).

Ici, je ne suis pas sûr que ce raisonnement tienne car il y a deux dérivées partielles, et la somme de deux fonctions continues ( et ) mais non-dérivables peut donner une fonction dérivable (). A confirmer.