Corps de rupture, corps fini

[simplet]

Bonjour,
alors j'ai réussis les deux premieres questions de cet exercice mais apres je bloque. Je demande donc un peu d'aide...

Soit Fq un corps à q éléments. Soit un polynome P dans Fq[X] irréductible de degré d distinct de X.

1) Montrer que P est sans racine multiple.

2) Montrer que les racines de P sont des racines de l'unité. Plus précisément
que P divise dans Fq[X] (le q ressemble à un 9 dans TEX, vous n'trouvez pas? :happy2: ).

3) Montrer que tout corps de rupture de P est un corps de décomposition.

4) Montrer que tout polynome irréductible de Fq[X] et de degré divisant d divise .

5)6)7)8) Je mets mes réponses plus bas...

[simplet]

1) Si x est une racine de P (qui est irréductible c'est donc son polynome minimal sur Fq) x ne peut etre racine multiple de P car sinon on aurait P'(x)=0, P' dans Fq[X] (P' la dérivée de P) ie P' dans P.Fq[X] (l'idéal engendré par P) ; Or degré(P')<degré(P).. ABSURDE!

2) Fq[X]/(P) est un corps à éléments, donc ses éléments sont (exactement) les racines du polynome .
En particulier dans ce corps
donc P divise .
Or P est irréductible de P distinct de X, donc P divise .

Donc toutes les racines de P sont des racines ème de l'unité.

_____________________

C'est apres que j'ai besoin d'aide... (merci d'avance)

[simplet]

Pour la 3) j'ai pensé à une chose...

En fait je dois montrer que si z est une racine de P, alors Fq(z) qui est un corps de rupture de P sur Fq, est un corps de décomposition de P sur Fq.

Ou encore que si et sont des racines de P, alors je dois montrer qu'il existe un entier k tel que .

"la" chose:
Si z et z' sont des racines de P, alors se sont des racines de et donc c'est à dire .

Est-ce qu'on peut déduire de là qu'il existe un entier k tel que ??

[abcd22]

Bonsoir,
Dans ta réponse à la question 1 tu oublies qu'on est en caractéristique non nulle : la dérivée d'un polynôme non constant peut être nulle ! Ca arrive si P est de la forme , il faut donc montrer que ce n'est pas possible que P soit de cette forme (ça contredit son irréductibilité).

Tu as presque répondu à la question 3) en répondant à la question 2) en fait : une racine de P est dans « le » corps à éléments, qui n'est autre que (puisqu'il existe un unique corps de cardinal à isomorphisme près).

Pour répondre à la question :

Est-ce qu'on peut déduire de là qu'il existe un entier k tel que z=z'^k ??

Non, il n'y a pas de raison pour que z' engendre .
Et en fait ce n'est pas ça qu'il faut montrer, ça signifie qu'il existe un polynôme tel que , R n'est pas forcément une puissance de X.

[yos]

F_q[X]/(P) est LE corps de rupture de P et tu as prouvé que c'est un corps de décomposition.

[simplet]

Bonsoir,
Dans ta réponse à la question 1 tu oublies qu'on est en caractéristique non nulle : la dérivée d'un polynôme non constant peut être nulle ! Ca arrive si P est de la forme , il faut donc montrer que ce n'est pas possible que P soit de cette forme (ça contredit son irréductibilité).

On peut se servir de la question 2 pour répondre à la question 1:
P divise qui n'a pas de racine multiple, étant donné que sa dérivée est constante égale à -1 différent de 0.
Donc P n'a pas de racine double. c'est correct?

Sinon je n'ai pas tout compris pour ta remarque sur la question 3: Si z est une racine de P alors Fq(z) est isomorphe à Fq[X]/(P) . Donc pour toutes racines z et z' de P on a Fq(z) isomorphe à Fq(z').

Mais ce qu'il faut montrer c'est que Fq(z)=Fq(z') non??

[simplet]

F_q[X]/(P) est LE corps de rupture de P et tu as prouvé que c'est un corps de décomposition.

Quand est-ce que j'ai montré que c'est un corps de décomposition?? :hein:

[abcd22]

On peut se servir de la question 2 pour répondre à la question 1:
P divise qui n'a pas de racine multiple, étant donné que sa dérivée est constante égale à -1 différent de 0.
Donc P n'a pas de racine double. c'est correct?

Oui mais ce n'est pas logique de raisonner dans ce sens là puisque les questions sont dans l'autre sens...
Ici je pense qu'il vaut mieux remarquer que quand on est dans un corps (resp. anneau commutatif) de caractéristique p, le morphisme de Frobenius est un morphisme de corps (resp. d'anneaux). Le morphisme est injectif comme tout morphisme de corps, et comme est fini, il est aussi surjectif.
Si , il existe des éléments tels que , d'où , et ça contredit l'irréductibilité de P.
(On vient de montrer que toute extension algébrique d'un corps fini (plus généralement d'un corps pour lequel le morphisme de Frobenius est surjectif) est séparable (le polynôme minimal de tout élément de l'extension est à racines simples), ce que tu verras sûrement si tu fais de la théorie de Galois).

Sinon je n'ai pas tout compris pour ta remarque sur la question 3: Si z est une racine de P alors Fq(z) est isomorphe à Fq[X]/(P) . Donc pour toutes racines z et z' de P on a Fq(z) isomorphe à Fq(z').

Mais ce qu'il faut montrer c'est que Fq(z)=Fq(z') non??

En fait on considère déjà que ce sont les mêmes corps car ils sont isomorphes, c'est pour ça qu'on parle « du » corps de rupture et « du » corps de décomposition d'un polynôme.
Mais ce n'est pas suffisant de savoir que le corps de rupture est unique à isomorphisme près (vrai pour tout polynôme irréductible) pour prouver que corps de rupture = corps de décomposition (pas toujours vrai : par exemple X³ - 2 sur a un corps de rupture de degré 3 sur et son corps de décomposition est de degré 6 sur ), ce qu'il faudrait montrer c'est plutôt , autrement dit l'extension engendrée par toutes les racines n'est pas plus grosse que l'extension engendrée par une seule racine, et la question 2 dit justement que si on prend l'extension engendrée par une racine (qui est ), toutes les racines sont dedans.

[simplet]

montrer c'est plutôt , autrement dit l'extension engendrée par toutes les racines n'est pas plus grosse que l'extension engendrée par une seule racine, et la question 2 dit justement que si on prend l'extension engendrée par une racine (qui est ), toutes les racines sont dedans.

On le montre comme je l'ai dit plus haut, que est isomorphe à pour toute racine de P ??

__________

Si j'ose encore, te demander de l'aide pour la question 4) (voir premier post)

Je trouve que si e divise d, alors divise car si e divise d alors divise .

Mais apres je ne vois pas comment généraliser à tous les polynomes de degré divisant d.
Je ne suis pas loin je pense nan??

merci de ton aide en tout cas :++:

[abcd22]

On le montre comme je l'ai dit plus haut, que est isomorphe à pour toute racine de P ??

Oui, enfin c'est au lieu de , je vais corriger mon post.

Je trouve que si e divise d, alors divise car si e divise d alors divise .

Mais apres je ne vois pas comment généraliser à tous les polynomes de degré divisant d.
Je ne suis pas loin je pense nan??

En effet, il suffit d'utiliser le résultat de la question 2 pour un polynôme irréductible de degré e divisant d. :happy3:

[simplet]

Ah oui d'accord, si Q est un polynome de degré e divisant d, alors d'apres la question 2 , Q divise , donc divise .
voila!!

Une derniere question (apres je te laisse promis), ca peut paraitre bête mais si Fq(z) est isomorphe à Fq(z') ce n'est pas pour ca que z' est dans Fq(z) ( et donc que Fq(z,z')=Fq(z') ).

Je sais qu'avec l'abus de langage on dit que c'est "le" corps à q^d éléments, mais je ne vois pas pourquoi z' et z sont forcément dans le même corps.. car tous ce qu'on sait que Fq(z) est isomorphe à Fq(z')..

je sais pas si j'arrive a me faire comprendre..? :briques:

[abcd22]

Une derniere question (apres je te laisse promis), ca peut paraitre bête mais si Fq(z) est isomorphe à Fq(z') ce n'est pas pour ca que z' est dans Fq(z) ( et donc que Fq(z,z')=Fq(z') ).

Oui, c'est justement ce que j'ai dit.

Je sais qu'avec l'abus de langage on dit que c'est "le" corps à q^d éléments, mais je ne vois pas pourquoi z' et z sont forcément dans le même corps.. car tous ce qu'on sait que Fq(z) est isomorphe à Fq(z')..

On a montré que toutes les racines de P sont dans , ça veut dire qu'elles sont toutes dans .

[simplet]

oui mais pour moi est un corps isomorphe à aux corps donc les racines notées z ne sont pas forcément dedans..

enfin c'est pas grave, je vais sans doute comprendre pendant la nuit :id:

en tout cas merci pour ce soir, c'était sympa :++:
bonne nuit

[abcd22]

oui mais pour moi est un corps isomorphe à aux corps donc les racines notées z ne sont pas forcément dedans..

Si deux extensions de sont isomorphes (avec isomorphisme laissant invariants les éléments de ) on a les mêmes relations polynomiales (pour des polynômes à coefficients dans ) dedans : comme P(z) = 0 dans , si est un isomorphisme , on a . On identifie z à son image par pour dire « ».

en tout cas merci pour ce soir, c'était sympa :++:
bonne nuit

De rien, bonne nuit à toi aussi.