Une augmentation d'entropie

[tournesol]

Bonjour à tous
Je recopie les données d'un exercice de probabilité apparu récemment sur ce forum .
On considère deux urnes U1 et U2.
L'urne U1 contient 6 boules blanches et 7 boules noires.
L'urne U2 contient 9 boules blanches et 6 boules noires.
On tire la première boule dans U1, on la met dans U2.
On tire la deuxième boule dans U2, on la met dans U1.
Je me suis demandé quelle pouvaient être les probabilités respectives et de tirer une boule blanche dans les urnes U1 et U2 après n itérations du procédé décrit dans les données .
J'ai noté b1 et b2 les nombres respectifs initiaux de boules blanches dans les urnes U1 et U2 .
J'ai noté U et V les nombres respectifs initiaux de boules dans les urnes U1 et U2 .
Il est clair que ces nombres sont les mêmes après chaque itération .
Après quelques calculs , j'ai obtenu les formules suivantes :


Qui donnent les limites
Cette limite commune est très intuitive car elle montre que le protocole détruit toute l'information dégradable du système et ne conserve que celle que le protocole n'a pas pu éliminer , à savoir le nombre total de boules blanches , et le nombre total de boules . Le protocole à transformé le système initial en la fusion de ses composantes .
Ce résultat entropique est probablement le même lorsque l'on utilise plusieurs urnes et un protocole approprié .
Ma question est: Existe t-il une théorie dont ce résultat découle ?
Merci pour vos lumières .

[GaBuZoMeu]

Juste pour être sûr : tu tires une boule dans U2 après avoir mis dans U2 la boule tirée dans U1 ?

[tournesol]

Oui , bien sûr . Mais même en tirant simultanément et en plaçant dans U2 celle tirée dans U1 et inversement , la limite sera la même .

[beagle]

"Ce résultat entropique est probablement le même lorsque l'on utilise plusieurs urnes et un protocole approprié ."
ou variantes il y a n1 et n2 boubles et à chaque fois on prend k variables de 0 (bon on a le droit de s'amuser, non,) à n1 ou n2

La théorie derriere c'est celle de battre les cartes, je sais pas si c'est enseigné en L2 ou M1.

Dans une des urnes tu mets les cartes rouges dans l'autre urne tu mets les cartes noires, et tu tire k cartes variables que tu remets dans l'autre urne (enfin paquet ici) etc...
au bout d'un moment on a un jeu de carte bien mélangé.

PS : zut m'a gourré K doit etre pris au hasard dans n1 = le nombre de cartes paquet 1 au moment i et dans n2 qui sera le nombre de carte dans paquet 2 au moment où on tire les cartes.

[Ben314]

Salut,
Ton truc, c'est presque un archétype de processus de Markov et, dans ce domaine, on a pas mal de théorèmes qui, modulo certaines hypothèses sur le graphe sous -jacent (*), disent que le processus tend vers un état stable (en terme de proba) indépendant de l'état initial du processus.

(*) Voir là : https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus ... ps_discret
par exemple

[GaBuZoMeu]

Oui.
Ceci est très bien expliqué par le théorème des matrices stochastiques.
Tu as une chaîne de Markov avec 14 états (chaque état est codé par le nombre de boules blanches dans U1, de 0 à 13.
Soit la variable aléatoire qui donne le nombre de boules blanches dans U1 après tours. Soit le vecteur ligne défini par (la distribution de probabilité pour ). Il existe une matrice de taille telle que, pour tout , (je suis sûr que tu peux calculer ses coefficients sont des probabilités conditionnelles). La matrice est stochastique et on se convainc assez facilement à la description de l'expérience qu'elle est régulière.
Le théorème des matrices stochastiques nous dit qu'il existe un unique vecteur ligne , à composantes strictement positives de somme , tel que quelle que soit la distribution de probabilité de départ, la suite converge vers . Ce vecteur vérifie (c'est un vecteur propre à gauche de valeur propre associée 1).

Ton est égal à l'espérance de , soit . La suite converge vers l'espérance de .

Je ne sais pas si ça te satisfera.

PS. Bon, c'est essentiellement ce que dit Ben, en plus détaillé.

[tournesol]

Merci beaucoup à vous deux , également à beagle pour sa vidéo sympa .

[beagle]

sur le plan mathématique,
cela fait quelle différence que l'on identifie les boules = les remplace par des cartes
cela fait-il une différence de se limiter à une seule unité versus plusieurs unités changées a chaque tour
et cette chaine de markov fait-elle autre chose que de décrire une manière de battre les cartes?

Donc si partant d'un ordre quelconque de cartes ce procédé entraine une arrivée avec une distribution complètement mélangée aléatoire des cartes, c'est que dans le cas de boules blanches elles sont distribuées au hasard total dans les urnes.

[GaBuZoMeu]

Le problème, me semble-t-il, n'est pas de savoir si on parle de boules ou de cartes.
Le problème est de dire quelque chose de solide mathématiquement là-dessus.
L'histoire des chaînes de Markov dit qu'il y a convergence vers une distribution stable et que cette distribution stable est unique.

Il est ensuite à peu près clair que cette distribution stable correspond à une même probabilité de boule blanche des deux côtés. L'argument est facile dans la situation où l'échange entre les deux urnes se fait simultanément : la stabilité entraîne que la probabilité de tirer une blanche est la même des deux côtés. Dans le cas où on met d'abord la boule tirée hors de U1 dans U2 avant de tirer une boule de U2, c'est en fait un mélange entre l'échange simultané et le statu quo qui consiste à ce que la boule tirée dans U1 fasse un aller-retour ; on est donc ramené à l'argument du cas d'échange simultané.

Pour le mélange de cartes, il me semble que l'histoire est assez différente : on compose des permutations des cartes, lesquelles permutations sont tirées aléatoirement suivant une certaine distribution. On espère que la composée totale converge vers une loi uniforme (toutes les permutations équiprobables). Là aussi ça peut relever d'une chaîne de Markov (les états sont les différentes permutations), il est clair que l'équiprobabilité fournit une distribution stable, et il y a une unique distribution stable vers laquelle tout converge (sous réserve que la matrice de transition soit régulière, c'est sûr qu'il ne faut pas par exemple répéter toujours la même permutation).

PS. Mon dernier paragraphe est peut-être un peu obscur, alors je formalise les choses. Disons qu'on a un paquet de carte. est le groupe des permutations de ces cartes. On a une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans , et on s'intéresse à la composée . On regarde la convergence de quand tend vers l'infini.
On peut voir ça comme une chaîne de Markov avec états. La matrice de transition est régulière si l'ensemble des permutations telles que engendre . *** Par exemple, on peut se contenter de égal au cycle avec proba 1/2 et à la transposition avec proba 1/2 : soit on met la carte du dessous au-dessus, soit on échange les deux cartes du dessus. Ça risque de prendre un certain temps, mais si on fait suffisamment de manips on aura un paquet bien mélangé.

*** Cette affirmation est fausse.

[beagle]

Je ne suis bien sur pas contre la modélisation mathématique,
et tout ce que cela peut apporter.
Je disais juste que deux tas de cartes
prendre une carte au hasard d'un tas pour remettre dans l'autre, puis dans l'autre paquet idem redonner une carte au hasard au premier paquet,
ben je dis tout le monde sans aucune formation mathématique dira que ce procédé bat les cartes = si elles n'étaient pas bien mélangées elles le deviennent de plus en plus.
Et je dis que c'est idem pour les boules si elles étaient reperées.

Ensuite que les maths confirme cela de belle manière,
soit capable de dire combien d'aller retour il faut pour avoir un bon mélange etc …
c'est très bien.
Mais à supposer que le calcul dise non cela ne mélange pas les cartes, ben perso je recommence les calculs pour voir où je me suis gourré.

[GaBuZoMeu]

Beagle, sans vouloir te vexer, il faut savoir si on fait des maths ou pas. Autrement dit, si on fait des démonstrations ou pas.
Il y a des trucs pas forcément intuitifs. Par exemple : on a un paquet de 32 cartes ; avec proba 1/2 chaque
- on échange les deux cartes du haut du paquet avec les deux du bas
- ou on met la carte du bas du paquet en deuxième position.
Tu dirais que ça mélange bien ? Aussi bien que le procédé que j'ai indiqué plus haut ?

[beagle]

oui mais faut savoir lire aussi,
on fait des maths oui
mais ce qui est évident et peut varier d'une personne à l'autre reste une évidence.
Et c'est meme pas grave,
et cela n'enlève rien à tes beaux messages tu sais!

[GaBuZoMeu]

Ben faire des maths, c'est faire des démonstrations et ne pas se contenter d'évidences qui peuvent être trompeuses. Non ? C'est quoi alors pour toi, faire des maths ?
Au fait, que penses-tu du mélange de paquet de cartes que je propose ?

[beagle]

je n'ai pas refléchi à ton truc.

Et tu peux faire de belles maths c'est très bien,
on peut aussi en maths ne pas aller aux combats inutiles = démontrer les évidences

[tournesol]

Démontrer des évidences , c'est ce qu'il ne faut pas faire avec les débutants en math , mais avec les autres , il est bon de leur montrer que même les évidences se démontrent comme :
loi associative , le composé de plusieurs termes est indépendant du parenthésage .
Ensuite , j'ai bien compris que l'approche intuitive permet de prévoir la limite (tout est mélangé) mais faut il encore que le protocole ne soit pas un faux mélange(quid de celui de GaBuZoMeu)
Enfin lorsque j'ai posé ma question , je recherchais une réponse entropique du type:
L'entropie initiale est de S0
Chaque manip détruit tant de bit d'info , donc la nouvelle entropie est Sn=???
Sn converge vers S=???
Or l'entropie du mélange des boules est précisément égale à S , et comme le protocole ne peut pas détruire les infos du mélange(nombre total de boules blanches , nombre total de boule) , c'est que le système est équivalent au système mélangé .
Encore un grand merci à tous .
Je vais chercher si les 2 permutations de GaBuZoMeu engendrent sigma n .

[GaBuZoMeu]

Prenons un paquet de 52 cartes, on le divise en quatre tas de 13, par couleurs. On s'autorise les manips suivantes ;
- Èchanger une carte d'un premier paquet avec une d'un deuxième paquet et une carte d'un troisième paquet avec une du quatrième.
- Mettre la carte du dessus d'un des paquets en dessous de ce paquet.
- Prendre une carte d'un premier paquet qu'on met à la place d'une carte d'un deuxième paquet qu'on met à la place d'une carte d'un troisième paquet qu'on met à la place qu'occupait le première carte dans le premier paquet.
C'est bien évident que si on fait ça un très grand nombre de fois en choisissant aléatoirement à chaque fois entre toutes ces possibilités, les cartes seront bien mélangées, n'est-ce pas ?

Au moins aussi évident que si on sépare les 52 cartes en deux paquets (les rouges et les noirs) et qu'on se contente de répéter les échanges d'une carte d'un paquet avec une carte de l'autre, n'est-ce pas Beagle ?

Non, ça te semble moins évident ? Pourquoi ça serait moins évident ? Comment ranges-tu les évidences ? Comment décides-tu qu'un truc est évident et l'autre pas ? Allo Beagle ?

Et si on fait les mêmes manips avec un jeu de 32 cartes ?

[beagle2]

allo GBZM aussi.
Dans tes différents exemples il y a une évidence:
-il est évident que la situation que j'ai décrite est évidente, ce qui signifie que le jour où je dois le prouver par le calcul, ben je recommence au moins dix fois le calcul si je ne tombe pas sur un résultat cohérent.

-inversement, dans les situations que tu décrits, il y ades éléments alertes qui font tiquer, si bien que si je dois passer par le calcul, je vais recommencer une seule fois = verifier mes calculs et j'accepterai le resultat du calcul

Je me souviens de mon fameux exo sur la distribution de cartes, je demandais La ou Une logique permettant de classser 4 probas par ordre croissant.Résultat aviateur membre de l'ultramaths viendra me dire que l'ordre donné était faux, et il en concluait: avec du blabla on peut tout démontrer, mais les maths c'est pas du blabla.
Bref aviateur n'avait aucune idée de la logique derriere l'exo, il était passé en mode calcul.Et il s'était juste gourré dans ses calculs.Alors si cel a se trouve les maths c'est pas que des calculs avec zero compréhension du pourquoi cela marche ainsi.

Maintenant s'agissant de l'évidence je n'en discuterai pas avec toi GBZM, j'ai le souvenir dans l'exo déjà référencé de tes interventions me demandant de justifier le autant par une bijection, dans une situation qui n'avait absolument pas besoin de bijection pour le faire, je ne vais pas me coltiner ta mauvaise foi légendaire.Car c'est plusieurs mois apres dans un autre fil de discussion que tu as daigné dire qu'une situation de symétrie était du auatnt car on pouvait faire notre bijection, mouarf…

[GaBuZoMeu]

Ton seul argument est : c'est évident parce que c'est évident. Et tu refuses d'avoir une argumentation scientifique
Alors là, sur ce coup, Beagle, tu ne fais pas de maths. Appelles ce que tu fais autrement (intuition, intime conviction, révélation divine ...), mais ce ne sont pas des maths.

Je constate que tu es passé du débat scientifique aux attaques personnelles. J'ai l'habitude de me faire accuser de mauvaise foi par les débatteurs à court d'argumentation scientifique. J'ai l'habitude aussi que ces mêmes personnes racontent des histoires sur ce qui se serait passé et qui prouve ma mauvaise foi et/ou mon incompétence, sans bien sûr donner de références précises pour qu'on puisse aller voir si ce qu'ils racontent a un rapport avec la réalité.

[beagle2]

rapidement, il est inutile de vouloir discuter avec toi,
j'ai appris cela de l'expérience, c'est pas démontré, pas cela pèse.

Il y a énormément de situations où vous confondez compréhension d'un problème avec intuition, on pourrait multiplier les exemples, le plus frappant a toujours été le très débattu indépendance de deux évènements, mais il y en a plein d'autres.

Quant au caractère scientifique, j'ai une définition du scientifique qui est une personne qui sait reconnaitre les arguments qui vont contre sa théorie, pas seulement un gars capable d'énoncer les arguments qui vont dans son sens. Et sur ce sujet je ne te qualifierai donc pas de scientifique, désolé.

[GaBuZoMeu]

Beagle, tu prétends comprendre le battage de cartes. Qu'est-ce qu'une compréhension qu'on est incapable d'expliquer, d'argumenter, autrement que par "il est évident que c'est évident" ?
Je veux bien reconnaître "les arguments qui vont contre ma théorie". Encore faut-il qu'il y en ait, des arguments.
Vas-y j'attends tes arguments pour démontrer que la répétition de la manip qui consiste à échanger une carte du paquet 1 choisie au hasard avec une carte du paquet 2 choisie au hasard bat bien les cartes.
Je viens d'ailleurs de réaliser que ce n'est pas le cas : je veux dire que la suite de variables aléatoires "permutation des cartes obtenue au bout de n répétitions d'échange" ne converge pas vers la distribution uniforme sur l'ensemble des permutations. C'est très facile de voir pourquoi (je laisse Beagle le faire). Et ça montre qu'une des affirmations que j'ai énoncées plus haut est fausse :

La matrice de transition est régulière si l'ensemble des permutations telles que engendre .

Ça, c'est faux. Donner une condition nécessaire et suffisante pour la régularité de la matrice de transition est plus compliqué que cela.