Le problème, me semble-t-il, n'est pas de savoir si on parle de boules ou de cartes.
Le problème est de dire quelque chose de solide mathématiquement là-dessus.
L'histoire des chaînes de Markov dit qu'il y a convergence vers une distribution stable et que cette distribution stable est unique.
Il est ensuite à peu près clair que cette distribution stable correspond à une même probabilité de boule blanche des deux côtés. L'argument est facile dans la situation où l'échange entre les deux urnes se fait simultanément : la stabilité entraîne que la probabilité de tirer une blanche est la même des deux côtés. Dans le cas où on met d'abord la boule tirée hors de U1 dans U2 avant de tirer une boule de U2, c'est en fait un mélange entre l'échange simultané et le statu quo qui consiste à ce que la boule tirée dans U1 fasse un aller-retour ; on est donc ramené à l'argument du cas d'échange simultané.
Pour le mélange de cartes, il me semble que l'histoire est assez différente : on compose des permutations des cartes, lesquelles permutations sont tirées aléatoirement suivant une certaine distribution. On espère que la composée totale converge vers une loi uniforme (toutes les permutations équiprobables). Là aussi ça peut relever d'une chaîne de Markov (les états sont les différentes permutations), il est clair que l'équiprobabilité fournit une distribution stable, et il y a une unique distribution stable vers laquelle tout converge (sous réserve que la matrice de transition soit régulière, c'est sûr qu'il ne faut pas par exemple répéter toujours la même permutation).
PS. Mon dernier paragraphe est peut-être un peu obscur, alors je formalise les choses. Disons qu'on a un paquet de
carte.
est le groupe des permutations de ces cartes. On a une suite de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées à valeurs dans
, et on s'intéresse à la composée
. On regarde la convergence de
quand
tend vers l'infini.
On peut voir ça comme une chaîne de Markov avec
états.
La matrice de transition est régulière si l'ensemble des permutations telles que engendre . *** Par exemple, on peut se contenter de
égal au cycle
avec proba 1/2 et à la transposition
avec proba 1/2 : soit on met la carte du dessous au-dessus, soit on échange les deux cartes du dessus. Ça risque de prendre un certain temps, mais si on fait suffisamment de manips on aura un paquet bien mélangé.
*** Cette affirmation est fausse.