Une augmentation d'entropie

[tournesol]

J'ai suivi votre débat avec beaucoup d'intérêt car , explicitement ou entre les lignes , il y a de nombreux éléments qui m'ont éclairé sur mon problème . Cependant , étant l'auteur de la question , je ne peux raisonnablement rester en retrait .
Il est évident que , il est immédiat que , il est clair que .
Je vois deux possibilités : 1)utilisation par les étudiants , 2) utilisation entre collègues .
1)Deux possibilités : 1a) l'étudiant est corrigé par les membres d'une équipe qui le connait et une relation de confiance s'est établie.1b) le cas contraire (concours GE ou divers , examens)
un point commun nécessaire pour les employer: l'épreuve peut difficilement être rédigée dans le temps imparti.
1a) pas de pb
1b) le candidat doit établir la relation de confiance avec le correcteur en montrant sa capacité à rédiger rigoureusement quelques questions faciles et les points délicats . Il pourra ensuite utiliser ces expressions à ses risques et périls , mais dans l'optique d'une gestion optimale du compromis : longueur d'une rédaction exhaustive-temps imparti .
2)Elles s'utilisent avec un niveau de profondeur plus élevé et variable selon la spécialité du collègue(théorie des nombres , probas , etc.) mais ne sont en aucun cas à confondre avec une vision intuitive bien plus profonde (pas évident et long à démontrer) qui est celle qui semble nous concerner .
Elle nous permet de prévoir la réponse et de savoir si il faut vérifier ses calculs ou les recommencer 10 fois , mais ne peut en aucun cas se substituer à une démonstration . On peut tout au plus en espérer une qui découle d'un principe général déjà théorisé comme l'entropie avec la théorie de l'information comme je l'ai cru pour mon pb . Mais même dans ce cas , il faut débusquer par les mathématiques le vrai mélange du biaisé pour lui appliquer ensuite un théorème général .
Enfin , si des générations de mathématiciens ont travaillé avec des évidences non démontrées(i^2=-1, continuité non définie , intégrale non encore définie , etc.) c'est qu'ils ne pouvaient pas faire autrement et que ce n'est pas un obstacle à la pratique des mathématiques , mais il y a toujours eu des mathématiciens qui ont envoyé ces évidences dans le LHC des mathématiques afin de découvrir avec quels axiomes elles sont construites . Nous en sommes les héritiers depuis le monde grec , et nous nous devons de faire des mathématiques dans cet état d'esprit .

[beagle2]

salut tournesol,
entierment d'accord avec ton dernier message.
Et je n'ai jamais dit il faut en rester à l'evidence.
Je ne peux qu'apprécier le developement pris par Ben314 et bien détaillé par GBZM.
J'aime les maths aussi faut pas croire.

D'ailleurs aucun regret dans l'évolution du fil puisque GBZM a relancé l'interèt du fil qs derniere intervention de page 1.
a suivre, enfin je vais essayer de suivre je veux dire!

[GaBuZoMeu]

Alors, Beagle, as-tu compris pourquoi ton "évidence", telle que je l'ai explicitée, est fausse :

la suite de variables aléatoires "permutation des cartes obtenue au bout de n répétitions d'échange" ne converge pas vers la distribution uniforme sur l'ensemble des permutations

[beagle2]

Alors, Beagle, as-tu compris pourquoi ton "évidence", telle que je l'ai explicitée, est fausse :

la suite de variables aléatoires "permutation des cartes obtenue au bout de n répétitions d'échange" ne converge pas vers la distribution uniforme sur l'ensemble des permutations

euh, il y a un léger soucis c'est que tu es le seul à parler de permutations,
dans le cas des deux urnes on tire au sort des trucs qui n'ont pas de position, on tire au sort des contenus,
donc pour que mon évidence soit fausse tu devras démontrer que les deux paquets en terme de composition n'évoluent pas vers l' équivalent d'une distribution aléatoire des deux paquets.

[GaBuZoMeu]

Beagle, je rappelle ce que tu avais écrit :

ben je dis tout le monde sans aucune formation mathématique dira que ce procédé bat les cartes = si elles n'étaient pas bien mélangées elles le deviennent de plus en plus.

Qu'est-ce qu'un mélange de cartes, en parlant mathématiques ? Pour moi, je ne vois pas ce que ça peut être d'autre qu'une permutation des cartes. Et quand on distribue les cartes, c'est bien cette permutation qui détermine quelle carte va à qui. L'ordre est important, n'est-ce pas ? que tu te fiches de la façon dont
Alors, c'est bien gentil de rester dans le flou. Ça permet, quand vous sentez que ce que vous avez dit ne va pas, de prétendre que ce n'est pas ce que vous avez voulu dire. Je remarque que j'ai déjà formulé cette propriété en termes de permutations dans ce message, dès que tu t'es mis à parler de battage de cartes. Ça ne t'a pas perturbé alors, tu n'as pas dit "qui parle de permutation ?", tu as continué sans mollir à affirmer que c'était évident. Ce n'est que maintenant que tu sens que l'évidence n'est plus si évidente que tu te mets à protester au sujet des permutations. Mais comme tu l'as rappelé, ma mauvaise foi est légendaire ...

Tu te fiches par exemple que les rouges soient en haut dans chaque paquet ? Ou que les cartes de chaque paquet soient rangées par ordre croissant de valeurs ? La seule chose qui t'intéresse est le nombre de rouges dans chaque paquet ? Quel est alors l'intérêt de parler de battage de cartes pour dire que ce qui se passe pour les boules dans les urnes est évident ? Alors bien sûr si tu décrètes maintenant que "cartes bien mélangées" veut juste dire qu'elles sont "bien réparties" entre le paquet 1 et le paquet 2, là je peux formaliser et démontrer sans problème. Mais ça ne me semble vraiment pas correspondre à l'idée de cartes bien mélangées, et je pense que tout joueur de cartes ne serait pas d'accord pour dire que les cartes sont bien mélangées s'il y a bien à peu près la moitié de rouges dans le premier paquet mais qu'elles sont toutes au-dessus du paquet.

Donc, j'attends que tu précises clairement ce que tu entends par "les cartes deviennent de plus en plus bien mélangées". J'ai fait l'effort de préciser ce que je comprends dans cette phrase ; ma formulation est claire, nette et sans ambiguïté, jusqu'à présent elle ne semblait pas te choquer. Maintenant que tu t'es mis à la désapprouver, dis précisément ce que tu entends par "les cartes deviennent de plus en plus bien mélangées".

[beagle2]

deuxieme message de beagle dans ce fil:
"sur le plan mathématique,
cela fait quelle différence que l'on identifie les boules = les remplace par des cartes
cela fait-il une différence de se limiter à une seule unité versus plusieurs unités changées a chaque tour
et cette chaine de markov fait-elle autre chose que de décrire une manière de battre les cartes?"

Donc clairement depuis le début le but de remplacer par des cartes était uniquement un procédé classique et habituel dans les exos de dénombrement : identifier les boules de meme couleur
et c'est tout
Donc ensuite il s'agit de dire que les deux paquets , ben ils évoluent vers un mélange où la composition de chaque paquet peut etre compris comme ce que l'on aurait lors d'une distribution aléatoire des deux paquets.

Maintenant deux remarques:
_ le mieux serait que tu prennes un pseudo beagle3 et que tu envoies directement toi-même ce que dit beagle
-et sinon cela n'enlève rien à ce que tu racontes ensuite sur l'ordre et qui est très interessant, mais je te l'ai déjà dit tu peux etre assez intéressant toi sans avoir à vouloir dégommer les autres.C'est pas la premiere fois.Allez joue sur tes qualités at arrète de harceler les gens pour essayer à tout prix de montrer qu'ils sont dans l'erreur.

[GaBuZoMeu]

J'ai expliqué quelle différence cela faisait dans le message qui suivait juste après celui où tu évoquais le battage de cartes, le message justement où je parlais de permutations.
Clairement depuis le début dans le battage des cartes l'ordre de celles-ci importe.
Et quand tu écrivais ça :

Dans tes différents exemples il y a une évidence:
-il est évident que la situation que j'ai décrite est évidente, ce qui signifie que le jour où je dois le prouver par le calcul, ben je recommence au moins dix fois le calcul si je ne tombe pas sur un résultat cohérent.
-inversement, dans les situations que tu décrits, il y ades éléments alertes qui font tiquer, si bien que si je dois passer par le calcul, je vais recommencer une seule fois = verifier mes calculs et j'accepterai le resultat du calcul

ce n'était pas dans le cadre où j'avais présenté ces différentes situations, avec l'ordre des cartes qui intervient ?
Bon, tu as changé d'avis, OK.

J'explique tout de même pourquoi le procédé d'échange de carte entre deux paquets ne converge pas vers une distribution uniforme sur les ordres possibles des cartes : tout simplement parce qu'à chaque étape on fait une transposition (appellation mathématique de l'échange de deux éléments) et donc que la composée de ces transpositions est une permutation paire pour un nombre pair d'étapes et une permutation impaire pour un nombre impair d'étapes. Au bout d'un nombre pair d'étapes, il n'y a que la moitié des permutations que l'on peut atteindre, et au bout d'un nombre impair il n'y a que l'autre moitié. Au bout de 2 965 123 échanges aléatoires entre les deux paquets en lesquels est divisé mon jeu de 32 cartes, si on retourne 30 cartes, je peux dire avec certitude laquelle est laquelle parmi les deux cartes non retournées.

[beagle]

Bonjour GaBuZoMeu ,
ce que tu racontes n'était pas mon idée première,
mais comme je me serais fait avoir probablement sur ce que tu as développé, j'apprécie ce que tu as bien décrit.

Je reprends ce que j'avais en tète d'abord.
Mon idée comme déjà dit était de se placer dans un cadre ou les boules non identifiées devenaient individuelles repérées, c'est classique de faire cela pour raisonner. Ensuite, et c'est encore plus important pour les gens comme moi sans bagages mathématiques importants, je me ramène à une situation proche connue, d'où l'idée de battre les cartes.Et de s'appuyer sur l'expérience, donc, cela fait quoi de battre les cartes. Mais lorsque je dis battre les cartes s'enseigne en L2 ou M1, ce n'est pas pour vanner l'exo, c'est pour dire et j'en suis bien conscient que ce sont les maths qui modélisent c'est quoi des cartes bien battues, c'est au bout de combien d'opération qu'on va accepter c'est bien battu , jusqu'à c'est quoi un tirage de cartes aléatoires qui nous ramène aux questions existentielles du site de Pierre, en passant et ne le sachant pas jusqu'au soucis que tu as reperé et détaillé.
Mais bon le problème initialement était un problème de répartition entre deux zones urnes ou paquets, pas trop d'ordre des cartes.

Revenons à ce que tu as décrit.

[beagle]

Revenons à ce que tu as décrit.

Déjà il ma semble que tu réponds à une des questions que j'avais posées, quelle différence d'échanger une carte à chaque fois versus échanger 1 à k cartes à chaque fois.
Rajoutter l'aléatoire sur ce nombre est finalement bénéfique pour l'ordre = battre les cartes pour avoir un jeu bien battu.

Mais également il me semble que ce que tu as décrit peut s'analyser aussi en terme de aléatoire fort ou faible, je ne sais plus si ce sont les termes.
Si on prend un jeu très ordonné, on lui fait subir qs , avec un nombre pair ou impair de transformations.
Si ce nombre est inconnu, connaitre l'ordre de départ ne donnera si j'ai bien compris aucun renseignement pour maintenant deux joueurs à qui on distribue des cartes.
La distribution est appelée bien battue, est appelée aléatoire.
C'est juste un aléatoire faible, car si on avait connaissance de n, on aurait des infos.
Il me semble que cela reprend l'utilisation des décimales de pi, une série de décimales de pi est un aléatoire faible, en tant que % et repartition des décimales c'est acceptable de dire c'est aléatoire.mais c'est un aléatoire faible car pour qui retrouverait le démarrage de la série dans les décimales connues de pi, alors il pourrait complètement donner la suite.

dernière remarque qui n'épuise pas ce beau sujet.
Si je veux faire une simulation informatique pour voir si j'obtiens les permuations, alors je dois programmer l'arret des échanges de cartes sur n et n+1 que je peux prendre aléatoire dans une serie pile face.

En tous cas merci GaBuZoMeu.
C'est dommage de ne pas pouvoir échanger.Déjà je réponds ici juste pour te remercier, mais dans les échanges je ferme tout avec toi, inutile de revenir sur le pourquoi.

[tournesol]

En général , le battage des cartes et le brassage des boules dans deux ou plusieurs urnes relèvent de problématiques différentes .
Dans le battage des cartes , on part d'un paquet ordonné de n cartes dont on connait l'ordre , puis on s'intéresse à l'effet de l'application d'un protocole aléatoire de manipulation de ces cartes sur les probabilité d'obtenir chacune des permutation des n cartes .
Dans le brassage des boules de deux ou plusieurs couleurs , on les sépare d'abord en un certain nombre de paquets( non vides ) de compositions connues puis on s'intéresse à l'effet de l'application d'un protocole aléatoire de manipulation de ces boules sur les probabilités pour chaque paquet de tirer une boule de chacune des couleurs .
Ces deux , non pas problématiques , mais types de manipulations ont une intersection non vide que est l'objet de votre(notre maintenant) débat .
Coupons donc aléatoirement en trois paquets un paquet de 32 cartes dont l'ordre est connu .
On a déjà appliqué là le début d'un protocole de battage . Appliquons la suite du protocole de battage.
A partir de cette étape , il est possible de s'intéresser aux deux problématiques.
BATTAGE DES CARTES:
on réassemble les paquets (fin du protocole) puis on s'intéresse aux probabilités d'obtenir chacune des permutation des n cartes . Lorsque le protocole prévoit une infinité d'étapes , on peut s'intéresser aux limites de ces probabilités .
BRASSAGE DES BOULES:
on réassemble les paquets (fin du protocole) puis , par exemple , on tire la troisième carte .
On s'intéresse aux probabilités des évènements élémentaires correspondants .
Lorsque le protocole prévoit une infinité d'étapes , on peut s'intéresser aux limites de ces probabilités .
On peut le faire pour chaque rang de carte.
Si pour chaque rang de carte , on obtient pour limite une loi équirépartie , il peut être tentant de dire que le jeu est de plus en plus mélangé , et qu'à la limite il l'est complètement. Mais j'ai défini perso ces expressions dont le sens ne va pas de soi.
On peut ne pas réassembler les paquets et tirer la deuxième carte du troisième paquet ou autre , mais les problématiques sont de même nature que si on avait rassemblé les paquets .
INTERSECTION:
Comme l'a expliqué GaBuZoMeu , lorsque le protocole consiste à itérer l'application de permutations de même parité , on ne peut pas obtenir une loi limite uniforme sur l'ensemble des permutations des 32 cartes.
Mais avec ce protocole , on peut obtenir un jeu "complètement mélangé" au sens de tournesol .
Exemple : avec 123 et choix équiprobable parmi les transpositions .

[beagle]

oui, mais l'idée de battre les cartes n'est pas pour les joueurs la nécessité d'avoir tous les possibles de permutations,
on bat les cartes pour à la distribution suivante ne pas donner tous les as à la meme personne.

Donc ici il y avait deux urnes ,
on dit je sépare le paquet de cartes en deux tas, je fais mes transformations et maintenant
proba de tirer du paquet 1 versus proba de tirer du paquet 2, il n' ya absolument aucun besoin de passer par un ordre des cartes.

[tournesol]

Il n 'y a besoin de passer par rien du tout .
Si tu ne connais pas la composition initiale des paquets , chaque carte a une proba egale d'apparaitre , peut importe dans quelle urne on fait la tirage .
Enfin , on ne s'occupe pas trop des attentes des joueurs de carte qui eux , ne sont pas des mathematiciens .

[beagle]

ou pour le dire autrement:
l'idée de battre les cartes c'est l'idée ne pas favoriser un joueur plus qu'un autre.
Lorsque l'on distribue les cartes à deux ou plus de joueurs une par une, l'ordre a son importance,
si on distribue 3 par 3 idem

Mais si on dit je sépare le paquet en deux tas
tas 1 servira joueur 1 tas 2 servira joueur 2
alors l'ordre n'intervient pas.
Ici par exemple chaque joueur va tirer une carte du paquet attribué,, apres les transformations qs, et on veut comparer les probas de chacun de recevoir...

[beagle]

Bien sur que dans l'exo on connait la composition initiale des deux paquets de carte …
On peut la choisir tres déséquilibrée.
La proba recherchée c'est apres trzansformation

[GaBuZoMeu]

Une ch'tite simulation. On la fait avec 5 cartes, ce qui fait tout de même 120 paquets (= permutations) possibles.

Le but est de comparer la stratégie "échange" (entre un tas de 3 et un tas de 2) et la stratégie que j'ai appelée "mélange" (ou on choisit aléatoirement entre échange des deux premières et permutation cyclique, en gros).
La simulation est en python 3, utilisé dans les lycées et disponible gratuitement sur toutes les plateformes. On charge les librairies qu'on va utiliser : une pour la génération d'aléatoire, une pour les dessins.

Code: Tout sélectionner

import random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

On définit les deux stratégies, plus un outil pour attribuer aux 120 paquets un numéro entre 0 et 119.

Code: Tout sélectionner

Debut=[1,2,3,4,5]

# stratégie échange :
# échange d'une carte tirée au hasard parmi les trois premières
# avec une carte tirée au hasard parmi les deux dernières
def Echange(Paquet):
    i=rd.randrange(3)
    j=rd.randrange(3,5)
    gare=Paquet[j]
    Paquet[j]=Paquet[i]
    Paquet[i]=gare
    return Paquet

# puissance d'une permutation cyclique du paquet
def Cycle(Paquet,n):
    Vieux=Paquet.copy()
    for i in range(5):
        Paquet[i]=Vieux[(i+n)%5]
    return Paquet
# échange des deux premières cartes
def Transpo(Paquet):
    gare=Paquet[1]
    Paquet[1]=Paquet[0]
    Paquet[0]=gare
    return Paquet
# stratégie mélange :
# manip tirée au hasard entre les deux précédentes   
def Melange(Paquet):
    i=rd.randrange(3)
    if i==0 : Transpo(Paquet)
    else : Cycle(Paquet,i)
    return Paquet

# numérotation d'un paquet
def Num(Paquet):
    Reste=Paquet.copy()
    ind=0
    for i in range(1,5):
        ind=(ind+Reste.index(i))*(5-i)
        Reste.remove(i)
    return ind

On définit les procédures pour faire les simulations, avec choix de la stratégie, du nb de manips pour un essai et du nombre d'essais. On récupère la liste des scores obtenus par chacun des paquets possibles.

Code: Tout sélectionner

# numéro du paquet obtenu après nb manips d'une stratégie
def Fin(Strategie,nb):
    Paquet=Debut.copy()
    for i in range(nb):
        Paquet=Strategie(Paquet)
    return Num(Paquet)

# liste des scores obtenu par chaque paquet possible en faisant
# nbessai essais de chacun nb manips d'une stratégie
def ListScor(Strategie,nb,nbessai):
    listscor=120*[0]
    for i in range(nbessai) :
        num=Fin(Strategie,nb)
        listscor[num]+=1
    return listscor

On a tout ce qu'il faut, et on y va. D'abord pour la stratégie "échange"

Code: Tout sélectionner

# histogramme des scores pour 10000 essais
# de chacun 500 manips de la stratégie "mélange"
M=ListScor(Echange,500,10000)
plt.hist(M)

Code: Tout sélectionner

(array([60.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0., 14., 39.,  7.]),
 array([  0.,  20.,  40.,  60.,  80., 100., 120., 140., 160., 180., 200.]),
 <a list of 10 Patch objects>)

Puis pour la stratégie "mélange"

Code: Tout sélectionner

# histogramme des scores pour 10000 essais
# de chacun 500 manips de la stratégie "mélange"
L=ListScor(Melange,500,10000)
plt.hist(L)

Code: Tout sélectionner

(array([ 7.,  4., 14., 21., 22., 25., 15.,  9.,  2.,  1.]),
 array([ 60. ,  65.1,  70.2,  75.3,  80.4,  85.5,  90.6,  95.7, 100.8,
        105.9, 111. ]),
 <a list of 10 Patch objects>)

Voila, je laisse chacun apprécier.

[tournesol]

Là , tu me fais plaisir car ma casio graph 35 + a travaillé exactement sur le mélange avec 1000 fois 50 manip , mais seulement pour rechercher si le jeu etait équireparti (longueur de temps et mémoire oblige).

[GaBuZoMeu]

Mets-toi à Python !

[GaBuZoMeu]

Tiens, un texte de l'épreuve de modélisation, option 'Proba-Stat", qui concerne le battage de cartes :
https://studylibfr.com/doc/7386317/battage-de-cartes

Et un autre texte ici :
https://culturemath.ens.fr/content/combien-de-fois-faut-il-battre-un-jeu-de-cartes

À chaque fois, le modèle est bien celui des permutations.

[beagle]

Salut GaBuZoMeu,
permutations oui quand on bosse le cas général,
mais pour des cas particuliers de donne il n' ya pas nécessairement besoin de reproduire tous les cas, m'enfin !

Par contre , il ne s'agit pas de savoir lequel est le plus efficace, mais juste pour redonner sa chance à la stratégie d'échange,
dans la stratégie échange ou permutation on crée un aléatoire pour savoir quoi faire.
Mais on peut utiliser cet aléatoire de 0 ou 1 pour dans la stratégie d'échange déterminer l'arret du battage à n ou n+1
cela donne quoi?

Pour les refs, c'est super un jour où j'aurai du temps, un jour à l'EHPAD avant le nouveau coronavirus!

[GaBuZoMeu]

Le texte de modélisation de l'agreg décrit une stratégie de battage : l'insertion (on insère la carte du dessus à un endroit du paquet choisi aléatoirement). Facile à écrire :

Code: Tout sélectionner

# stratégie insertion :
def Insert(Paquet):
    i=rd.randrange(5)
    gare=Paquet[0]
    for j in range(i) :
        Paquet[j]=Paquet[j+1]
    Paquet[i]=gare
    return Paquet

et on teste :

Code: Tout sélectionner

N=ListScor(Insert,500,10000)
plt.hist(N)

Code: Tout sélectionner

(array([ 8.,  5., 10., 23., 20., 17., 18.,  9.,  5.,  5.]),
 array([ 61. ,  65.7,  70.4,  75.1,  79.8,  84.5,  89.2,  93.9,  98.6,
        103.3, 108. ]),
 <a list of 10 Patch objects>)