Logarithme, Tangentes et parallèles

[Formula2002]

Bonjour à tous et à toutes,

J'ai un devoir maison à faire et je bloque sur la question 5 ( Sujet ci-joint).

Il est question de déterminer la ou les tangente(s) parallèles à la droite Delta que j’appellerai g(x).

Or, je sais que deux droites sont parallèles si et seulement si leur coefficient directeur est égal.

J'ai donc calculer l'équation de la tangente à C:

Ta : y = f'(a)(x-a) + f(a) avec f(a)= (lna/a) + 2 - a
f'(a) = (a^2 + lna - 1)/a^2 ( calculer dans une question précédente)

Ce qui me donne au final : Ta : y = (a^2 + lna - 1) x /(a^2) - 2a + 2 + 1/a

Ai je fait une erreur de calcul?

J'ai dit ensuite : Si Ta est parallèle à la droite d'équation y = -x + 2

alors : (a^2 + lna - 1)/ a^2 = -1 --> J'arrange le tout et j'obtiens : 2a^2 + lna - 1 = 0

Je bloque à ce niveau: Je pensais poser X = lna mais comme il y a 2a^2 et lna ça ne marche pas

Merci d'avance pour votre aide!

Cordialement, Formula

[Sa Majesté]

Salut,

Tu n'as pas besoin d'exprimer une équation de la tangente à Cf au point d'abscisse a.
Il suffit de résoudre l'équation f'(a)=-1, soit

[Carpate]

Au point A(a; f(a)), l'équation de la tangente s'écrit , son coeff directeur est donc
La tangente à (C) au point A(a,f(a)) sera parallèle en ce point à si et seulement si f'a) = -1 soit
soit soit
Edit
Pas vu la réponse de Sa Majesté

[Sa Majesté]

Edit
Pas vu la réponse de Sa Majesté

Je me disais aussi
Tkt ça arrive

[Formula2002]

Merci pour votre réponse, cependant que j'utilise cette façon de faire ou non, je retombe sur l'équation: 2a^2 + lna - 1 = 0

Comment puis-je faire par la suite? Le logarithme me pose problème..

Merci d'avance!
Cordialement.

[Sa Majesté]

Tu as une erreur de signe.

[Formula2002]

En regardant d'un peu plus près,

J'ai donc : f'(a) = -1 --> (-a^2 - lna + 1)/ a^2 = - 1 --> lna = 1 --> a = e

Au point d'abscisse a= e, la tangente à C est parallèle à la droite d'équation y= -x +2

Est-ce juste? Merci d'avance!

[Sa Majesté]

Oui c'est juste, et c'est d'ailleurs ce qu'a écrit Carpate

[Formula2002]

Je reviens vers vous car la deuxième partie de mon devoir me pose problème.

La question 1 nous demande de calculer An

J'obtiens An = [lnx(ln(x)] mais je ne sais pas ce que je dois faire avec ça.

Dois faire le calcul avec A1 et A4?

Merci d'avance!

[Sa Majesté]

J'obtiens An = [lnx(ln(x)]

Non.
Comment as-tu trouvé ça ?

[Formula2002]

Pour calculer An , je calcule d'abord sa primitive:

L'intégrale de n à n+1 de la fonction ln(x)/x dx avec f(x) = ln(x)/x

f de la forme u'/u donc F de la forme ln(|u|)

Je pose : u(x) = x
u'(x)= 1 d'où f(x) = lnx(1/x)

d'où [lnx(lnx)] de n à n+1

[Carpate]

Tu peux très bien vérifier ton résultat en le dérivant.
Tu dois obtenir la fonction initiale.
Pense â une intégration par parties

[Formula2002]

La réponse serait-elle : 1/2 [lnx]^2 ?

PS: Merci beaucoup pour vos réponses.

[Carpate]

Oui
Mais pourquoi poses-tu cette question puisque tu peux la vérifier en dérivant
Bonne continuation...

[Formula2002]

En voulant calculer An, je fais donc:

An+1 - An : 1/2(ln(n+1))^2 - 1/2(ln(n))^2 = 1/2 [(ln(n+1))^2 -( ln(n) )^2]

J'avais pensé utilisé l'identité remarquable : a^2 - b^2 mais j'ai du mal à visualiser..

Merci d'avance..

[Sa Majesté]

Avec l'indication du 2a : , je ne vois pas comment on peut s'en sortir.
Peut-être qu'il y a une erreur dans l'énoncé.
Je suggère de démontrer que pour tout ,

[Formula2002]

J'obtiens An = 1/2ln(n+1/n)*ln(n(n+1))

Ce résultat est-il correct?

En effet, la question 2b. demande de montrer que An < 1/RACINE(n)

Or, si mon résultat est juste et que je trace les deux courbes, j'obtiens An > 1/RACINE(n)

Ce n'est pas cohérent..

[Carpate]

Oui, ton calcul est exact.
En utilisant la suggestion de Sa Majesté : , j'arrive à la majoration de par on est loin de !
Pourtant est inférieur à

En admettant l'inégalité pour , on voit que tend vers 0 mais que conclure pour la limite de la suite ?
En effet :
Mon calculateur d'intégrale m'indique que l'intégrale : est divergente ...
As-tu la possibilité de joindre l'auteur de cet énoncé ?

[Sa Majesté]

Ce que je voulais dire, c'est utiiser l'inégalité pour majorer ln(x) dans l'intégrale, pas dans l'expression de An.