Application linéaire et matrice

[joquetino]

Bonjour à tous,

Je suis en train de faire un exo sur les applications linéaires.

L'exercice est le suivant :
Soit v1 =
et v2 =

Quelle est la matrice de l'application linéaire T de R^2 dans R^2 telle que T(v1)=2*v1 et T(v2)=3*v2 ?

Mon souci, c'est que je n'ai pas la même réponse que le prof, j'aimerais comprendre mon erreur.
On a :
T(v1) = 2*v1 =
et T(v2) = 3*V2 =

Soit A la matrice de l'application, avec 2 lignes et 2 colonnes.
A =

J'ai donc T(v1) = A * v1 =
et T(v2) = A * v2 =

Cela équivaut au système suivant :


On en déduit la matrice A suivante :
A =

or le prof donne la matrice A =

Pouvez-vous me préciser où je me "plante" ? Je peux contacter le prof mais à vrai dire, il répond rarement.

Merci pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Il est facile de vérifier que

[joquetino]

Oui donc la correction du prof est fausse ?

[GaBuZoMeu]

Ce n'est en tout cas pas la bonne réponse à l'énoncé que tu donnes.

[joquetino]

Ok merci. En regardant de nouveau le corrigé, je me rend compte que le prof a corrigé sa matrice qui est bien celle que j'avais trouvé. Tout est bien qui finit bien.

Bonne soirée à tous.

[Carpate]

Il ne peut pas t'avoir échappé que l'énoncé donne les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice dont on recherche l'expression dans la base canonique de .
On note :
: forme diagonalisée de dans la base de ses vecteurs propres

: matrice de passage de la base à la base



Calcul de
: :



Je suppose que le but de cet exercice était de te faire utiliser un changement de base plutôt que d'employer une banale méthode d'identification qui s'applique à toutes les situations ...

[GaBuZoMeu]

La supposition me semble assez hasardeuse. On n'y gagne d'ailleurs pas grand chose (je dirais même rien) en simplicité de calcul.

[Carpate]

Pour ma part, je persiste à y voir une intention de faire de manipuler et formule de changement de base et matrice de passage ( par quel plus grand hasard le prof a pris un exemple aussi particulier. ?)
Le petit surcroît de calcul n'est pas grand chose, il y a des calculateurs de matrice en ligne et, en situation de confinement, le temps de calcul prend moins d'importance !

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu
On y gagne si on sait inverser mentalement une matrice carée d'ordre 2 .
1/det(P) X "termes diag changent de place sans changer de signe , et les autres changent de signe sans changer de place "

[GaBuZoMeu]

Tu rigoles, tournesol ?
As-tu regardé la solution directe donnée pas joquetino ? Deux systèmes 2x2 se résolvant de tête pour trouver A, et c'est fini. Inverser une matrice, c'est en gros la même complexité et après il faut encore calculer . Je le répète, le gain me semble absolument nul (si ce n'est négatif).
Et, à voir d'autres messages de joquetino, je ne pense pas qu'il en soit aux vecteurs propres, valeurs propres et réduction des endomorphismes.

[tournesol]

Effectivement , je n'avais pas lu sa solution .
Elle est du niveau du brevet des colleges et particulièrement rapide .